北京市清华大学附属中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题

2020-2021学年北京市清华附中高二（上）期末数学试卷 一、选择题（共10小题；每小题4分共40分） 1．（4分）设集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，集合B＝{x|1＜x＜3}，则A∪B等于（　　） A．{x|﹣1＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜1} C．{x|1＜x＜2} D．{x|2＜x＜3} 2．（4分）”直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（　　） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 3．（4分）某物体做直线运动，位移y（单位：m）与时间t（单位：s）满足关系式y＝2t2+1，那么该物体在t＝3s时的瞬时速度是（　　） A．2m/s B．4m/s C．7m/s D．12m/s 4．（4分）已知a＝lg3，b＝lg7，则＝（　　） A．a﹣b B．a+b C． D． 5．（4分）设是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是（　　） A．与λ的方向相反 B．与λ2的方向相同 C．|﹣λ|≥|| D．|﹣λ|≥|λ|• 6．（4分）已知圆x2+y2﹣2x+2y+a＝0截直线x+y﹣2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是（　　） A．﹣8 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣4 7．（4分）已知直线ax+y﹣2+a＝0在两坐标轴上的截距相等，则实数a＝（　　） A．1 B．﹣1 C．﹣2或1 D．2或1 8．（4分）如图所示，ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是（　　） A．A，M，O三点共线 B．A，M，O，A1不共面 C．A，M，C，O不共面 D．B，B1，O，M共面 9．（4分）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，A＝2B，则a的值为（　　） A． B．2 C． D．2 10．（4分）如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1满足2AB＝AA1，点E在线段DD1上移动，F点在线段BB1上移动，并且满足DE＝FB1，则下列结论中正确的是（　　） A．直线AC1与直线EF可能异面 B．直线EF与直线AC所成角随着E点位置的变化而变化 C．三角形AEF可能是钝角三角形 D．四棱锥A﹣CEF的体积保持不变 二、填空题（共5小题；每小题5分共25分） 11．（5分）若复数+m（i为虚数单位）为纯虚数，则实数m＝　 　． 12．（5分）若抛物线y2＝4x上一点P到其焦点的距离为4．则点P的横坐标为　 　． 13．（5分）若直线x﹣2y+5＝0与直线2x+my﹣6＝0互相垂直，则实数m＝　 　． 14．（5分）过双曲线的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点，若|AB|≥|，则双曲线离心率的取值范围为　 　． 15．（5分）定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）＝． （ⅰ）f（2021）＝　 　． （ⅱ）若方程f（x）﹣kx＝0有且只有两个解，则实数k的取值范围是　 　． 三、解答题（共6小题；共85分） 16．（13分）已知函数． （Ⅰ）求f（x）的最小正周期和f（x）的单调递减区间； （Ⅱ）当时，求函数f（x）的最小值及取得最小值时x的值． 17．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中AD∥BC，AB⊥AD，AB＝AD＝BC＝2，PA＝4，E为棱BC上的点，且BE＝BC． （1）若F为棱PD的中点，求证：EF∥平面PAB； （2）（ⅰ）求证DE⊥平面PAC； （ⅱ）设Q为棱CP上的点（不与C，P重合），且直线QE与平面PAC所成角的正弦值为，求的值． 18．（13分）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx﹣1，曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程为y＝﹣8x+1． （1）求函数f（x）的解析式； （2）求y＝f（x）在区间（﹣1，4）上的极值． 19．（14分）已知椭圆＝1（a＞b＞0）短轴的两个端点与椭圆的右焦点构成面积为1的等腰直角三角形． （Ⅰ）求椭圆的离心率及其标准方程； （Ⅱ）过点S（0，﹣）直线与椭圆交于P，Q两点，线段PQ的中点为M，问在y轴上是否存定点D，使得？若存在，求出D的坐标；若不存在，请说明理由． 20．（15分）已知函数f（x）＝lnx﹣a（x﹣1），g（x）＝ex． （Ⅰ）过原点作曲线y＝g（x）的切线l1，求切线l1的方程； （Ⅱ）讨论函数f（x）的单调区间； （Ⅲ）过原点作曲线y＝f（x）（x∈（0，1））的切线l2，若切线l2的斜率与l1的斜率互为倒数，求证：＜a＜． 21．（15分）已知非空集合A⊆N*，如果存在x1，x2，…，xk∈