北京市中关村中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题

2020-2021学年北京市海淀区中关村中学高二（上）期末数学试卷 一．选择题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题意要求的一项． 1．（4分）已知集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|x2≤6}，那么A∩B＝（　　） A．{0，2，4} B．{﹣2，0，2} C．{0，2} D．{﹣2，2} 2．（4分）抛物线y2＝2x的焦点到准线的距离为（　　） A． B．1 C．2 D．3 3．（4分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（　　） A． B．y＝﹣x2 C．y＝log2x D．y＝|x|+1 4．（4分）已知x＞1，则函数的最小值为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 5．（4分）若平面α、β的法向量分别为＝（2，﹣3，5），＝（﹣3，1，﹣4），则（　　） A．α∥β B．α⊥β C．α、β相交但不垂直 D．以上均不正确 6．（4分）如图所示，在复平面内，点A对应的复数为z，则复数z2的虚部为（　　） A．﹣4 B．1 C．3 D．4 7．（4分）若直线l：2x+ay+1＝0与直线l2：ax+2y+1＝0平行，则a＝（　　） A．0 B．2 C．﹣2 D．±2 8．（4分）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1，下列向量的数量积一定不为0的是（　　） A． B． C． D． 9．（4分）已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，P到其准线的距离为d，Q为圆（x+2）2+（y﹣4）＝1上一个动点，d+|PQ|的最小值是（　　） A．5 B．4 C． D． 10．（4分）已知函数f（x）＝cos4x+sin2x，下列结论中错误的是（　　） A．f（x）是偶函数 B．函数f（x）最小值为 C．是函数f（x）的一个周期 D．函数f（x）在（0，）内是减函数 11．（4分）设点F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，点P是椭圆C上任意一点，若使得成立的点恰好是4个，则实数m的值可以是（　　） A． B．3 C．5 D．8 12．（4分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，点E在棱BC上，且满足BE＝2EC，动点M在正方体表面上运动，且ME⊥BD1，则动点M的轨迹的周长为（　　） A． B． C． D． 二、填空题共7小题，每小题5分，共35分． 13．（5分）若复数，则||＝　 　． 14．（5分）双曲线x2﹣y2＝1的焦点坐标为 　 　，渐近线方程为 　 　． 15．（5分）已知圆C：x2+y2+2y﹣2＝0与直线l：y＝x+1交于A，B两点，则圆心C到直线的距离为 　 　，弦长|AB|＝　 　． 16．（5分）在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AC1＝，AC1与底面ABCD所成角的余弦值为，则该四棱柱的体积为 　 　；异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为 　 　． 17．（5分）燕子每年秋天都要从北方飞到南方过冬．鸟类科学家发现，两岁燕子的飞行速度v可以表示为耗氧量x的函数v＝alog2．若两岁燕子耗氧量达到40个单位时，其飞行速度为v＝6m/s，则两岁燕子飞行速度为9m/s时，耗氧量达到 　 　个单位． 18．（5分）设函数，当f（a）＝1时，a＝　 　；如果对于任意实数R都有f（x）≥2b成立，那么实数b的取值范围是 　 　． 19．（5分）数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面．一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线C：（x2+y2）3＝16x2y2恰好是四叶玫瑰线． 给出下列结论： ①曲线C经过1个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2； ③方程（x2+y2）3＝16x2y2（xy＜0）表示的曲线C在第二象限或第四象限； ④曲线C围成区域的面积大于4π． 其中全部正确结论的序号是 　 　． 三、解答题共5小题，共67分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 20．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，c＝3，． （Ⅰ）求sinC的值； （Ⅱ）求△ABC的面积． 21．（13分）已知函数． （Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间； （Ⅱ）直接写出函数f（x）的一个零点； （Ⅲ）当时，求函数f（x）的最大值和最小值及相应x值． 22．（15分）已知椭圆过点（2，0），且离心率为．过点（0，﹣2）的直线l与椭圆W交于A，B两点，O为坐标原点． （Ⅰ）求椭圆W的方程； （Ⅱ）设C为AB的中点，当直线l的斜率为1时，求中点C的坐标； （Ⅲ）当△AOB的面