第27章 专项8 圆的综合应用-【勤径学升】2023-2024学年九年级下册数学同步练测配套PPT课件（华东师大版）

九年级数学 华师版（下册） 第27章　圆 专项8　圆的综合应用 B 5 C C 圆与锐角三角函数的综合应用　　 如图，在平面直角坐标系中，⊙A经过O(0，0)，C(0，6)，E(－8，0)三点，点B是 eq \x\to(OE) 上的点(不与点O重合)，连结OB、BC，则cos ∠OBC的值为(　　) A． eq \f(3,5) B． eq \f(4,5) C． eq \f(3,4) D． eq \f(3,16) [解析]连结EC，∵∠COE＝90°，∴EC是⊙A的直径．∵C(0，6)，E(－8，0)，O(0，0)，∴OC＝6，OE＝8.在Rt△EOC中，由勾股定理，得EC＝ eq \r(OC2＋OE2) ＝10.∵∠OBC＝∠OEC，∴cos ∠OBC＝cos ∠OEC＝ eq \f(OE,CE) ＝ eq \f(8,10) ＝ eq \f(4,5) . 如图，△ABC内接于⊙O，连结OA、OC．若⊙O的半径为3，且sin B＝ eq \f(5,6) ，则弦AC的长为________. [解析]如答图，延长AO交⊙O于点E，连结EC，∴∠AEC＝∠B，∴sin ∠AEC＝sin B＝ eq \f(5,6) .∵AE是⊙O的直径，∴∠ACE＝90°，在Rt△ACE中，sin ∠AEC＝ eq \f(AC,AE) ＝ eq \f(5,6) ，∵AO＝3，∴AE＝6，∴AC＝5. 圆与三角形的综合应用　　 (河北石家庄期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，半径为2的⊙O分别与AC、BC相切于点E、F. (1)求证：AB是⊙O的切线； (2)求图中阴影部分的面积． (1)证明：如答图，连结OE、OF、OC，过点O作OD⊥AB于点D.∵∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，∴AB＝ eq \r(122＋52) ＝13.∵半径为2的⊙O分别与AC、BC相切于点E、F，∴OF＝OE＝2，∠OEC＝∠OFC＝90°.∵S△AOC＋S△BOC＋S△AOB＝S△ABC，∴ eq \f(1,2) AC·OE＋ eq \f(1,2) BC·OF＋ eq \f(1,2) AB·OD＝ eq \f(1,2) AC·BC，∴OD＝2. ∵OD⊥AB，∴AB是⊙O的切线． (2)解：∵BC、AC与⊙O分别相切于点F、点E， ∴OF⊥BC，OE⊥AC.∵∠ACB＝90°，OE＝OF，∴四边形OECF是正方形，∴OE＝OF＝EC＝FC＝OD＝2，∠EOF＝90°.由(1)可得⊙O是△ABC的内切圆，∴易证∠EOA＝∠DOA，∠FOB＝∠DOB， ∴∠AOB＝ eq \f(1,2) ×(360°－90°)＝135°，∴S阴影＝S△AOB－S扇形＝ eq \f(1,2) ×13×2－ eq \f(135π×22,360) ＝13－ eq \f(3π,2) . 与特殊多边形相关的综合　　 如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝2∠B，⊙C的半径为3，则图中阴影部分的面积是(　　) A．π B．2π C．3π D．6π [解析]∵在▱ABCD中，∠A＝2∠B，∠A＋∠B＝180°.∴∠A＝120°.∵∠C＝∠A＝120°，⊙O的半径为3.图中阴影部分的面积是 eq \f(120×π×32,360) ＝3π.故选C. (河东区期末)如图，菱形OABC的顶点A、B、C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为1，则BD的长为(　　) A．1 B． eq \r(2) C． eq \r(3) D．2 [解析]如答图．连结OB.∵BD是⊙O的切线，∴∠OBD＝90°.∵四边形OABC为菱形，∴OA＝AB，∴OA＝OB＝AB.∴△OAB为等边三角形，∴∠AOB＝60°.∴∠ODB＝30°，∴OD＝2OB＝2.由勾股定理，得BD＝ eq \r(OD2－OB2) ＝ eq \r(3) .故选C. (吉林长春南关区校级二模)如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作⊙O交AB于点F，连结DB交⊙O于点H，E是BC上一点，且BE＝BF，连结DE. (1)求证：DE是⊙O的切线； (2)若BF＝1，BD＝ eq \r(5) ，求菱形ABCD的面积． (1)证明：连结DF，如答图． ∵四边形ABCD为菱形， ∴AB＝BC＝CD＝DA，AD∥BC，∠DAB＝∠C. ∵BF＝BE， ∴AB－BF＝BC－BE，即AF＝CE， ∴△DAF≌△DCE，∴∠DFA＝∠DEC. ∵AD是⊙O的直径， ∴∠DFA＝90°，∴∠DEC＝90°. ∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠DEC＝90°， ∴OD⊥DE. ∵OD是⊙O的半径， ∴DE是⊙O的切线． (2