第26章 专项2 二次函数的最值问题-【勤径学升】2023-2024学年九年级下册数学同步练测配套PPT课件（华东师大版）

九年级数学 华师版（下册） 第26章　二次函数 专项2　二次函数的最值问题 线段最值问题　　 (合肥庐阳区期中)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(－6，0)，B(3，0)，与y轴交于点C(0，6)，直线AD：y＝mx＋2与该抛物线交于点A、D，作y轴的平行线分别交抛物线、直线AD和x轴于点P、Q、R，点R位于点O、A之间． (1)求抛物线和直线AD的表达式； (2)求线段PQ的最大值； (3)连结PC，设AD与y轴交于点E，若四边形PCEQ是平行四边形，求点P的坐标． 解：(1)∵抛物线经过点A(－6，0)，B(3，0)，C(0，6)， ∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(36a－6b＋c＝0，,9a＋3b＋c＝0，,c＝6，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(1,3)，,b＝－1，,c＝6.)) 故抛物线的表达式为y＝－ eq \f(1,3) x2－x＋6. ∵直线AD经过点A(－6，0)， ∴－6m＋2＝0，解得m＝ eq \f(1,3) . 故直线AD的表达式为y＝ eq \f(1,3) x＋2. (2)设点P的坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t，－\f(1,3)t2－t＋6)) (－6<t<0)， 则点Q的坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t，\f(1,3)t＋2)) . 由题意，得PQ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)t2－t＋6)) － eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)t＋2)) ＝－ eq \f(1,3) t2－ eq \f(4,3) t＋4＝－ eq \f(1,3) (t＋2)2＋ eq \f(16,3) ， ∴当t＝－2时，PQ有最大值，最大值为 eq \f(16,3) . (3)∵AD与y轴交于点E，∴E(0，2)，∴CE＝4. 若四边形PCEQ是平行四边形，则PQ＝CE， 即－ eq \f(1,3) (t＋2)2＋ eq \f(16,3) ＝4. 解得t＝－4或t＝0(舍去). 当t＝－4时，－ eq \f(1,3) t2－t＋6＝ eq \f(14,3) ， 故点P的坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，\f(14,3))) . 三角形周长最值问题　　 (山东潍坊期末)如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象经过A(－2，0)，B(2，2)，C(0，2)三个点． (1)求该二次函数的表达式； (2)若在该函数图象的对称轴上有个动点D，求当D点坐标为何值时，△ACD的周长最小． 解：(1)设二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0). 将A(－2，0)，B(2，2)，C(0，2)三点的坐标代入，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a－2b＋c＝0，,4a＋2b＋c＝2，,c＝2，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(1,4)，,b＝\f(1,2)，,c＝2.)) ∴抛物线的表达式为y＝－ eq \f(1,4) x2＋ eq \f(1,2) x＋2. (2)如答图，设二次函数图象与x轴的另一个交点为E. ∵抛物线的表达式为y＝－ eq \f(1,4) x2＋ eq \f(1,2) x＋2， ∴对称轴为直线x＝1. ∵抛物线与x轴的一个交点为A(－2，0)， ∴抛物线与x轴的另一个交点为E(4，0). 连结CE，与对称轴x＝1交于点D，点D即为所求． 设直线CE的表达式为y＝kx＋t(k≠0).将C(0，2)，E(4，0)代入，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t＝2，,4k＋t＝0，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－\f(1,2)，,t＝2.)) ∴直线CE的表达式为y＝－ eq \f(1,2) x＋2. 当x＝1时，y＝ eq \f(3,2) ，∴点D的坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2))) ， ∴当D点坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2))) 时，△ACD的周长最小． 三角形面积最值问题　　 (浙江温州校级模拟)如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝4 cm，动点P从点A开始沿AD边以1 cm/s的速度运动，动点Q从点D开始沿DC边以2 cm/s的速度运动，点P和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，则S△DPQ的最大值为__________. 2 eq \r(3) cm2 (东