第03讲 圆的方程-备战2024年高考数学《解读•突破•强化》一轮复习讲义（新高考专用）

备战2024年高考《解读•突破•强化》一轮复习讲义（新高考） 第03讲 圆的方程 【考试要求】 1.理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程. 2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题． 一、圆的标准方程 1．圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合是圆，其中定点是圆心，定长是圆的半径． 2．方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)是以点(a，b)为圆心，r为半径的圆的方程，叫做圆的标准方程． 3．以原点为圆心，r为半径的圆的标准方程为x2＋y2＝r2. 4．点与圆的位置关系 已知点P(x0，y0)，圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2，设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r，则点与圆的位置关系对应如下： 位置关系 点在圆外 点在圆上 点在圆内 d与r的大小关系 d＞r d＝r d＜r 方程表示 (x0－a)2＋(y0－b)2>r2 (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 (x0－a)2＋(y0－b)2<r2 二、圆的一般方程 1．圆的一般方程的概念 当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程． 2．圆的一般方程对应的圆心和半径 圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为，半径长为． 对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的说明 方程 条件 图形 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 D2＋E2－4F＜0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个点 D2＋E2－4F＞0 表示以为圆心，以为半径的圆 3．二元二次方程表示圆的条件 (1)x2和y2的系数相等． (2)缺xy项，即含xy项的系数为0． (3)各项系数之间满足关系式． 4．点与圆的位置关系：点P(x0，y0)与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)的位置关系是： P在圆内⇔x＋y＋Dx0＋Ey0＋F<0， P在圆上⇔x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＝0， P在圆外⇔x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0， 1.（多选）下列结论正确的是( ) A确定圆的几何要素是圆心与半径． B(x－2)2＋(y＋1)2＝a2(a≠0)表示以(2,1)为圆心，a为半径的圆． C方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0 D若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0. 2．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标和半径分别是(　　) A．(2,3)，3 B．(－2,3)， C．(－2，－3)，13 D．(2，－3)， 3．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是(　　) A．(x－1)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1 C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2 4．(多选)下列各点中，在圆(x－1)2＋(y＋2)2＝25的内部的是(　　) A．(0,2) B．(3,3) C．(－2,2) D．(4,1) 考点一 求圆的方程 例2 (2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，则⊙M的方程为________． 【对点演练1】(2022·全国乙卷)过四点(0,0)，(4,0)，(－1,1)，(4,2)中的三点的一个圆的方程为 【对点演练2】 (1)已知圆M与直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圆心在直线y＝－x－4上，则圆M的方程为(　　) A．(x＋3)2＋(y－1)2＝1　 B．(x－3)2＋(y＋1)2＝1 C．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1 D．(x－3)2＋(y－1)2＝1 (2)一个圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且在直线y＝x上截得的弦长为2，则该圆的方程为_______________________________________________________． 考点二 由圆的方程确定参数（范围） 例1．若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay－10a＝0表示圆，则实数a的取值范围为(　　) A．(－2,0) B．(－∞，－2)∪(0，＋∞) C．[－2,0] D．(－∞，－2]∪[0，＋∞) 【对点演练1】(2022•河南·宝丰县第一高级中学模拟)已知p：，q：关于x，y的方程表示圆，则是的(       ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【对点演练2】 (1)设圆的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1