2.1.1等式的性质与方程的解集 课件-2023-2024学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册

第二章 等式 §2.1.1 等式的性质与方程的解集 1 一、等式的性质 我们已经学习过等式的性质： （1）等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍成立； （2）等式的两边同时乘以同一个不为零的数或者代数式，等式仍成立. 等式的定义：含有等号的式子叫做等式. ac=bc a+b=b+a 用符号语言和量词表示上述等式的性质： （1）如果a=b，则对任意c，都有____________； （2）如果a=b，则对任意不为零的c，都有____________. 二、恒等式 补全下列（1）（2）中的两个公式，然后将下列含有字母的等式进行分类，并说出分类的标准： （1）a²-b²=____________ （平方差公式）； （2）(x+y)²=____________ （两数和的平方差公式）； （3）3x-6=0； （4）(a+b)c=ac+bc； （5）m(m-1)=0； （6）t²+1=(t+1)(t²-t+1). (a+b)(a-b) x²+2xy+y² 如果从量词的角度对以上6个等式进行分类的话，等式____________________对任意实数都成立，而等式____________只是存在实数使其成立. （1）（2）（4）（6） （3）（5） 二、恒等式 1.定义：一般地含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等. 恒等式是进行代数变形的依据之一. 例如，因为(x+y)²=x²+2xy+y²对任意x，y都成立，所以可用其他代数式去替换其中的x，y ，等式仍会成立，若用-z替换其中的y，则 ( x-z )²= x+ 2x (-z) + (-z)²= x² -2xz +z²，由此就得到了以前学过的两数平方差公式. 二、恒等式 2.重要的恒等式： （1）a²-b²=(a+b)(a-b) （2）(a±b)2＝a2±2ab＋b2； （3）a3±b3＝(a±b)(a2∓ab＋b2)； （4）(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc.　　　　 二、恒等式 例1 化简：(2x+1)²-(x-1)² 解：方法一：(2x+1)²-(x-1)² =4x²+4x+1-(x²-2x+1) =3x²+6x 方法二： (2x+1)²-(x-1)² =[(2x+1)+(x-1)][(2x+1)-(x-1)] =3x(x+2) = 3x²+6x 可以利用两数和的平方公式与两数差的平方公式展开，然后合并同类项 可以将2x+1和x-1分别看成一个整体，然后使用平方差公式 二、恒等式 下面介绍另外一个经常会用到的恒等式：对任意的x，a，b,都有 (x+a)(x+b)=x+(a+b)x+ab 可以利用这个恒等式来进行因式分解.给定式子x²+Cx+D，如果能找到a和b，使得D=ab且C=a+b，则 x²+Cx+D =(x+a)(x+b). 为了方便记忆，已知C和D，寻找满足条件的a和b的过程，通常用下图来表示：其中两条交叉的线表示对应数相乘后相加要等于C，这种因式分解的方法称为“十字相乘法”. a 1 b 二、恒等式 3.十字相乘法：对任意的x，a，b,都有 (x+a)(x+b)=x+(a+b)x+ab 这种因式分解的方法称为“十字相乘法”. 例，对于式子x²+5x+6来说，因为2×3=6且2+3=5，所以x²+5x+6=_________. (x+2)(x+3) 2 1 3 二、恒等式 3.练一练：对下列选择合适的方法进行因式分解 (1)x2-25; (2)a2-6a+9; (3)4m(x-y)-8n(y-x); (4)(a2+4)2-16a2. 解：(1)x2-25=(x+5)(x-5); (2)a2-6a+9=(a-3)2; (3)4m(x-y)-8n(y-x)=4(x-y)(m+2n); (4)(a2+4)2-16a2=(a2+4+4a)(a2+4-4a)=(a+2)2(a-2)2. 平方差公式法 完全平方公式法 提取公因式法 十字相乘法 回忆与思考 (1)一元一次方程kx+b=0(k≠0)的根是什么? 一元一次方程的根指的是一元一次方程的解 (2)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是什么? 三、方程的解集 1.定义：一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集. （方程的解(或根)是指能使方程左右两边相等的未知数的值.） 做一做：求方程3x+2=0的解集. 解：∵ 2x-