第2章 课时梯级训练(22) 直线与方程（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

课时梯级训练(22)　直线与方程 1．(多选)在下列四个命题中，错误的有(　　) A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B．直线倾斜角的取值范围是[0，π) C．若一条直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α D．若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α ACD　解析：对于A，当直线与x轴垂直时，直线的倾斜角为90°，斜率不存在，故A错误；对于B，直线倾斜角的取值范围是[0，π)，故B正确；对于C，一条直线的斜率为tan α，此直线的倾斜角不一定为α，故C错误；对于D，一条直线的倾斜角为α时，它的斜率为tan α或不存在，故D错误．故选ACD. 2．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　解析：若两直线平行，则a(a＋1)＝2，即a2＋a－2＝0，解得a＝1或a＝－2，故a＝1是直线l1与直线l2平行的充分不必要条件． 3．已知点P(3，2)与点Q(1，4)关于直线l对称，则直线l的方程为(　　) A．x－y＋1＝0 B．x－y＝0 C．x＋y＋1＝0 D．x＋y＝0 A　解析：由题意知直线l与直线PQ垂直，直线PQ的斜率kPQ＝－1，所以直线l的斜率k＝－＝1.又直线l经过PQ的中点(2，3)，所以直线l的方程为y－3＝x－2，即x－y＋1＝0. 4．若m，n满足m＋2n－1＝0，则直线mx＋3y＋n＝0过定点(　　) A．(，) B．(，－) C．(，－) D．(－，) B　解析：∵m＋2n－1＝0，∴m＋2n＝1.∵mx＋3y＋n＝0，∴(mx＋n)＋3y＝0，当x＝时，mx＋n＝m＋n＝，∴3y＝－，∴y＝－，故直线过定点(，－).故选B. 5．若点A(4，－1)在直线l1：ax－y＋1＝0上，则l1与l2：2x－y－3＝0的位置关系是________． 答案：l1⊥l2　解析：将点A(4，－1)的坐标代入ax－y＋1＝0，得a＝－，则kl1·kl2＝－×2＝－1，∴l1⊥l2. 6．直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程是________． 答案：3x＋4y＋5＝0　解析：在所求直线上任取一点P(x，y)，则点P关于x轴的对称点P′(x，－y)在已知直线3x－4y＋5＝0上，所以3x－4(－y)＋5＝0，即3x＋4y＋5＝0. 7．与三条直线l1：x－y＋2＝0，l2：x－y－3＝0，l3：x＋y－5＝0可围成正方形的直线方程为________． 答案：x＋y＝0或x＋y－10＝0　解析：易知l1∥l2，且它们之间的距离d＝＝.设所求直线为l4，则l4∥l3，所以可设l4：x＋y＋c＝0，则＝，解得c＝0或c＝－10，所以所求直线的方程为x＋y＝0或x＋y－10＝0. 8．已知光线从点A(－5, －2)射出，到直线y＝x上的B点后被直线y＝x反射到y轴上的点C，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点D(－2, 6)，求BC所在的直线方程． 解：作出草图，如图所示，设A关于直线y＝x的对称点为A′，D关于y轴的对称点为D′，则易得A′(－2，－5)，D′(2, 6).由入射角等于反射角可得A′D′所在直线经过点B与C.故BC所在的直线方程为＝，即11x－4y＋2＝0. 9．等腰直角三角形斜边所在直线的方程是3x－y＝0，一条直角边所在的直线l的斜率为，且经过点(4，－2)，且此三角形的面积为10，求此直角三角形的直角顶点的坐标． 解：设直角顶点为C，C到直线y＝3x的距离为d. 则·d·2d＝10，∴d＝. 又直线l的斜率为，且经过点(4，－2)，∴l的方程为y＋2＝(x－4).即x－2y－8＝0. 设l′是与直线y＝3x平行且距离为的直线， 则l′与l的交点就是C点， 设l′的方程是3x－y＋m＝0，则＝， ∴m＝±10，∴l′的方程是3x－y±10＝0， 由方程组及 得C点坐标是(，－)或(－，－). 10．(多选)已知直线l1：4x－3y＋4＝0，l2：(m＋2)x－(m＋1)y＋2m＋5＝0(m∈R)，则(　　) A．直线l2过定点(－3，－1) B．当m＝1时，l1⊥l2 C．当m＝2时，l1∥l2 D．当l1∥l2时，两直线l1，l2之间的距离为1 ACD　解析：对于A，l2：(m＋2)x－(m＋1)y＋2m＋5＝0(m∈R)变形为m(x－y＋2)＋2x－y＋5＝0，令则因此直线l2过定点(－3，－1)，A正确；对于B，当m＝1时，l1：4x－3y＋4＝0，l2：3x－2y＋7＝0，∵4×3＋(－3)×(－2)≠0，故两直线不垂直，故B错误；对于C，当m＝2时，l1：4x