第1章 课时梯级训练(13) 空间向量在立体几何中的应用（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

课时梯级训练(13)　空间向量在立体几何中的应用 1．如图，点A，B，C分别在空间直角坐标系O­xyz的三条坐标轴上，＝(0，0，2)，平面ABC的法向量为n＝(2，1，2)，设二面角C­AB­O的大小为θ，则cos θ等于(　　) A． B． C． D．－ C　解析：由题意可知，平面ABO的一个法向量为＝(0，0，2)，由图可知，二面角C­AB­O为锐角，由空间向量的结论可知cos θ＝＝＝. 2．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AC与B1D所成角的大小为(　　) A． B． C． D． D　解析：以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的边长为1， 则A(0，0，0)，C(1，1，0)，B1(1，0，1)，D(0，1，0).∴＝(1，1，0)，＝(－1，1，－1)， ∵·＝1×(－1)＋1×1＋0×(－1)＝0，∴⊥，∴AC⊥B1D，∴AC与B1D所成的角为. 3．已知正三棱柱ABC­A1B1C1，AB＝AA1＝2，则异面直线AB1与A1C所成角的余弦值为(　　) A．0 B．－ C． D． C　解析：以A为原点，在平面ABC内过A作AC的垂线为x轴，以AC所在直线为y轴，以AA1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系， 则A(0，0，0)，B1(，1，2)，A1(0，0，2)，C(0，2，0)， ＝(，1，2)， ＝(0，2，－2)，设异面直线AB1和A1C所成的角为θ，则cos θ＝ ∴异面直线AB1和A1C所成的角的余弦值为. 4．如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE，则M点的坐标为(　　) A．(1，1，1) B．(，，1) C．(，，1) D．(，，1) C　解析：设AC与BD相交于O点，连接OE，由AM∥平面BDE，且AM⊂平面ACEF，平面ACEF∩平面BDE＝OE，∴AM∥EO，又O是正方形ABCD对角线交点，∴M为线段EF的中点．在空间坐标系中，E(0，0，1)，F(，，1).由中点坐标公式，知点M的坐标(，，1). 5．已知＝(1，5，－2)，＝(3，1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x＋y＝________． 答案：　解析：由条件得解得x＝，y＝－，z＝4，∴x＋y＝－＝. 6．如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，O是平面A1B1C1D1的中心，则BO与平面ABC1D1所成角的正弦值为________． 答案：　解析：建立空间直角坐标系如图所示， 则B(1，1，0)，O(，，1)，A1(1，0，1)，D(0，0，0)， ＝(1，0，1)是平面ABC1D1的一个法向量．又＝(，，－1)， ∴BO与平面ABC1D1所成角的正弦值为＝ 7．如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，过点E作EF⊥PB于点F.求证：(1)PA∥平面EDB； (2)PB⊥平面EFD. 证明：以D为坐标原点，射线DA，DC，DP分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz. 设DC＝a.连接AC交BD于点G，连接EG，依题意得A(a，0，0)，P(0，0，a)，C(0，a，0)，E(0，，). (1)因为底面ABCD是正方形，所以G为AC的中点，故点G的坐标为(，，0)， 所以＝(a，0，－a)，＝(，0，－)， 则＝2，故PA∥EG. 而EG⊂平面EDB，PA⊄平面EDB， 所以PA∥平面EDB. (2)依题意得B(a，a，0)，所以＝(a，a，－a). 又＝(0，，)，故·＝0＋－＝0，所以⊥， 所以PB⊥DE. 由题可知EF⊥PB，且EF∩DE＝E，所以PB⊥平面EFD. 8．在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝，AB＝BC＝AD＝a，PA⊥平面ABCD，PA＝a，点F在AD上，且CF⊥PC. (1)求点A到平面PCF的距离； (2)求AD到平面PBC的距离． 解：(1)由题意知AP，AB，AD两两垂直，建立空间直角坐标系，如图． 则A(0，0，0)，B(a，0，0)，C(a，a，0)，D(0，3a，0)，P(0，0，a). 设F(0，m，0)，则＝(－a，m－a，0)，＝(－a，－a，a). ∵PC⊥CF，∴⊥， ∴·＝(－a)·(－a)＋(m－a)·(－a)＋0＝0，∴m＝2a， 即F(0，2a，0)，＝(－a，a，0). 设平面PCF的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则 取x＝1，则y＝1，z＝2，得n＝(1，1，2). 设点A到平面PCF的距离为d，由＝(a，a，0)， 则d＝＝＝a. ∴