内蒙古阿拉善盟第一中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学（理科）试卷

2022-2023学年内蒙古阿拉善盟一中高二（下）期中数学试卷（理科） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 第I卷（选择题） 一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 已知集合，，则(    ) A. B. C. D. 2. 已知命题：，，则命题的否定为(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知复数为虚数单位，则的共轭复数在复平面内对应的点位于(    ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 双曲线的渐近线方程是(    ) A. B. C. D. 5. 下列求导运算中，正确的是(    ) A. B. C. D. 6. 极坐标的直角坐标为(    ) A. B. C. D. 7. (    ) A. B. C. D. 8. 在长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为(    ) A. B. C. D. 9. 函数的图象如图，是的导函数，则下列数值排列正确的是(    ) A. B. C. D. 10. 函数的图象大致是(    ) A. B. C. D. 11. 已知函数，，则下列结论正确的是(    ) A. 一定有极大值 B. 当时，有极小值 C. 当时，可能无零点 D. 若在区间上单调递增，则 12. 已知函数若过点可以作曲线三条切线，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 函数在点处的切线方程为______． 14. 已知复数为纯虚数，则 ______ ． 15. ______． 16. 设点在直线上，点在函数的图象上，则的最小值为______ ． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 本小题分 已知函数． 求函数的单调区间； 求函数在上的最大值和最小值． 18. 本小题分 已知椭圆中，，离心率． 求椭圆的方程； 设直线与椭圆交于、两点，求． 19. 本小题分 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为中点． 求证：平面； 若，求直线与平面所成角的正弦值． 20. 本小题分 已知函数在处取得极值． 求，的值； 若方程有三个相异实根，求实数的取值范围． 21. 本小题分 如图，在棱长为的正方体中，点，分别是棱，上的动点，且． 求证：； 当三棱锥的体积取得最大值时，求二面角的正弦值． 22. 本小题分 已知． 求证：当时，； 若对于，恒成立． 求的最大值； 当取最大值时，若函数，求证：对于，，，恒有为自然对数的底． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：集合，， 则． 故选：． 利用交集定义直接求解． 本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2.【答案】  【解析】解：否定：否定两次，否定结论． 故命题：，，则命题的否定，． 故选：． 否定：否定两次，否定结论． 本题考查命题的否定，属于基础题． 3.【答案】  【解析】解：复数， ， 的共轭复数在复平面内对应的点为，位于第四象限． 故选：． 利用复数的四则运算先化简，再求出复数的共轭复数，求解即可． 本题考查了复数的四则运算，复数的共轭复数的求法，复数的几何意义，是基础题． 4.【答案】  【解析】解：由双曲线可得：，， 解得． 双曲线的渐近线方程为． 故选：． 利用双曲线即可得到渐近线方程为． 本题考查了双曲线的渐近线方程，属于基础题． 5.【答案】  【解析】解：因为，所以选项错误； 因为，所以选项错误； 因为，所以选项错误． 故选：． 利用基本初等函数的导数公式、导数的四则运算公式求解． 本题考查常见函数的导数，属于基础题． 6.【答案】  【解析】解：设点的直角坐标为，极坐标为， 则有， ，并且点在第三象限，解得． 故选：． 根据直角坐标与极坐标转化的规则计算． 本题主要考查直角坐标与极坐标转化的规则，属于基础题． 7.【答案】  【解析】解：． 故选：． 利用定积分的运算性质，化简即可求解． 本题考查了定积分的运算性质，属于基础题． 8.【答案】  【解析】解：如图，以点为原点，边，，所在的直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则： ，， ， ，， ． 故选：． 可以点为原点，边，，所在的直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，然后可求出点，，和点的坐标，进而得出向量和的坐标，根据向量夹角的余弦公式即可求出的值，进而得出答案． 本题考查了通过建立空间直角坐标系