2023年中考备考数学二轮专题复习讲义：第1讲：与旋转有关的证明——手拉手模型

第1讲：与旋转有关的证明——手拉手模型 一、【知识储备】 手拉手模型的定义：两个有公共顶点且顶角相等的等腰三角形组成的图形叫手拉手模型。 手拉手模型可以看作是一个等腰三角形经过顺时针旋转到另一个地方得到另一个三角形，旋转过程中可能有缩放，这样形成的几何图形． 【相似手拉手模型】和全等型不同的是，相似型手拉手模型没有等腰，但是仍然符合 共顶点、“顶角”等的特点，判断左右手的方式也和全等型相同． 重要结论：①ABCADE、ABDAEC ② 二、【精讲点拨】 例1 在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题： （1）如图1，在等边△ABC中，点P在内部，且PA＝3，PC＝4，∠APC＝150°，求PB的长．经过观察、分析、思考，他对上述问题形成了如下想法：将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到△ABD，连接PD，寻找PA、PB、PC三边之间的数量关系…请你根据上面分析，完成该问题的解答过程； （2）如图2，在等边△ABC中，AC＝7，点P在△ABC内，且∠APC＝90°，∠BPC＝120°，求△APC的面积； （3）如图3，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P在△ABC内，且PA＝1，PB，PC，求AB的长； （4）如图4，在△ABC中，∠BAC＝60°，若AB＝2AC，点P在△ABC内，且PA，PB＝5，∠APC＝120°，直接写出PC的长． 图4 例2 如图，四边形ABCD是正方形，△ECF为等腰直角三角形，∠ECF＝90°，点E在BC上，点F在CD上，N为EF的中点，连接NA，以NA，NF为邻边作▱ANFG，连接DG，DN，将Rt△ECF绕点C顺时针旋转，旋转角为α（0°≤α≤360°）． （1）如图1，当α＝0°时，DG与DN的关系为 　 　． （2）如图2，当0°＜α＜45°时，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． （3）在Rt△ECF的旋转过程中，当▱ANFG的顶点G落在正方形ABCD的边上，且AB＝12，EC＝5时，连接GN，请直接写出GN的长． 三、【当堂巩固】 1. 已知：△ABC和△ADE均为等边三角形，连接BE，CD，点F，G，H分别为DE，BE，CD中点． （1）当△ADE绕点A旋转时，如图1，则△FGH的形状为　 　，说明理由； （2）在△ADE旋转的过程中，当B，D，E三点共线时，如图2，若AB＝3，AD＝2，求线段FH的长； （3）在△ADE旋转的过程中，若AB＝a，AD＝b（a＞b＞0），则△FGH的周长是否存在最大值和最小值，若存在，直接写出最大值和最小值；若不存在，说明理由． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $