第一章 集合（知识归纳+题型突破）-2023-2024学年高一数学单元精讲·速记·巧练（苏教版2019必修第一册）

第一章 集合（知识归纳+题型突破） 1．通过实例了解集合的含义；理解元素与集合的属于关系． 2．记住常用数集的表示符号，并会应用． 3．掌握集合的常用表示方法：列举法和描述法． 4．学会选择合适的方法表示集合，理解集合的相等、有限集、无限集等概念． 5．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集． 6．理解全集、补集的概念，会求给定子集的补集． 7．理解两个集合之间的并集和交集的含义，能求两个集合的并集与交集． 1．集合与元素 (1)一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体组成一个集合，常用大写字母A，B等表示集合． (2)集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元，常用小写字母a，b等表示元素． (3)集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性． 2．元素与集合的关系 知识点 关系 概念 记法 读法 元素与 属于 如果a是集合A中的元素，就说a属于A “a属于A” 集合的关系 不属于 如果a不是集合A中的元素，就说a不属于A “a不属于A” 3．常用数集及表示符号 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N＋ Z Q R 4．集合的常用表示方法 (1)列举法：将集合的元素一一列举出来，并置于花括号“{}”内．用这种方法表示集合，元素之间要用逗号分隔，但列举时与元素的次序无关． (2)描述法：将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来，写成{x|p(x)}的形式．其中x为集合的代表元素．p(x)指元素x具有的性质． ①竖线前写清代表元素的符号，竖线后用简明、准确的语言描述元素的共同特征． ②同一个集合可以有不同的表述形式，如{x|x≥0}，{y|y≥0}，{y|y＝x2，x∈R}表示同一个集合． (3) Venn图法：为了直观地表示集合，常画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合，称为Venn图． 5．集合的分类 含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集，不含任何元素的集合称为空集，记作∅． 6．集合间的基本关系 　　 表示 关系　　 文字语言 符号表示 集合间的基本关系 子集 如果集合中任意一个元素都是集合中的元(若a∈A，则a∈B)，，那么集合A称为集合B的子集 或 读作“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”． 相等 集合的任何一个元素都是集合的元素，同时集合的任何一个元素都是集合的元素 且 真子集 如果A⊆B，并且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集， 或 读作“A真包含于B”或“B真包含A”． 空集 空集是任何集合的子集 空集是任何非空集合的真子集 且 7．子集、真子集的性质 (1)任意集合A都是它自身的子集，即A⊆A． (2)空集是任意一个集合A的子集，即∅⊆A；空集是任意一个非空集合B的真子集，即∅B． (3)对于集合A，B，C，如果A⊆B，B⊆C，那么A⊆C． (4)对于集合A，B，C，如果AB，BC，那么AC． 8．用维恩图表示非空集合的基本关系 (1)A⊆B表示为：或 (2)AB表示为： (3)A＝B表示为： 9．全集 如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．全集通常记作U． 10．集合的三种基本运算 自然语言 图形语言 符号语言 集合的交集 由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”)． ，且 集合的并集 所有属于集合或者属于集合的元素组成的集合 ，或 集合的补集 设A⊆S，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记为∁SA(读作“A在S中的补集”) ∁U，且 11．交集的运算性质 ①A∩B＝B∩A；②A∩B⊆A，A∩B⊆B；③A∩∅＝∅；④A∩A＝A． 12．并集的运算性质 A∪B＝B∪A，A⊆A∪B，B⊆A∪B，A∪A＝A，A∪∅＝∅∪A＝A． 如果A⊆B，则A∪B＝B，反之也成立． 13．区间 设a，b∈R，且a<b，规定[a，b]＝{x|a≤x≤b}，叫作闭区间，(a，b)＝{x|a<x<b}为开区间，a，b叫作相应区间的端点． (1) 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 左闭右开区间 [a，b) {x|a<x≤b} 左开右闭区间 (a，b] (2)特殊区间的表示 定义 R {x|x≥a} {x|x＞a} {x|x≤a} {x|x＜a} 符号 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞)