高效作业(十七) 等差数列-【优化探究】2025年高二数学暑假高效作业（新教材，北师大版）

高效作业(十七)　等差数列 １．等差数列的有关定义及公式 (１)等差数列的定义:如果一个数列从　　　 起,每一项与它的前一项的差都等于　　　 　　　,那么这个数列就叫作等差数列,这个 常数叫作等差数列的公差,公差通常用字母 d表示． (２)等差中项:由三个数a,A,b组成的等差 数列可以看成是最简单的等差数列．这时,A 叫作a 与b的等差中项．根据等差数列的定 义可以知道,２A＝a＋b． (３)通项公式:an＝a１＋　　　　d＝am ＋ 　　　　d或an＝pn＋q(p,q是常数)． ２．等差数列的常用性质 若数列{an}是公差为d的等差数列,则 (１)an＝pn＋q(p,q是常数); (２)an＝am＋(n－m)d⇒d＝ an－am n－m (m≠n, n,m∈N∗); (３)若m＋n＝p＋q(m,n,p,q∈N∗),则am ＋an＝ap＋aq,特别地,当m＋n＝２p 时,am ＋an＝２ap,ap 是am 和an 的等差中项; (４)下标为等差数列的项ak,ak＋m,ak＋２m,􀆺 (k,m∈N∗)组成公差为md的等差数列; (５)数列{λan＋b}(λ,b为常数,n∈N∗)是公 差为λd的等差数列; (６)若数列{bn}是等差数列,则{kan＋pbn} (k,p是非零常数,n∈N∗)也是等差数列． ３．等差数列的前n项和公式 设等差数列{an}的前n项和为Sn,公差为d, 则Sn＝na１＋ n(n－１) ２ d＝ n(a１＋an) ２ ． ４．等差数列的前n项和的常用性质 (１)若等差数列{an}的前n项和为Sn,公差 为d,则 Snn{ }是公差为 d ２ 的等差数列． (２)若等差数列{an}的项数为２n(n＞１,n∈ N∗),则S偶－S奇＝nd(d为{an}的公差)．且 S奇 S偶 ＝ an an＋１ ;若等差数列{an}的项数为２n＋１ (n∈ N∗ ),则 S奇 －S偶 ＝an＋１,且 S奇 S偶 ＝n＋１n ． (３)若等差数列{an}的前n项和为Sn,公差 为d,则Sk,S２k－Sk,S３k－S２k,􀆺是公差为 k２d(k∈N∗)的等差数列． 一、选择题 １．等差数列{an}中,a４＋a８＝１０,a１０＝６,则公 差d＝ (　　) A．１４　　　　　　　　　　B． １ ２ C．２ D．－１２ ２．在等差数列{an}中,若Sn 为{an}的前n项 和,２a７＝a８＋５,则S１１的值是 (　　) A．５５ B．１１ C．５０ D．６０ ３．设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a６, a８ 是方程x２－８x＋５＝０的两根,则S１３ ＝ (　　) A．８ B．５２ C．４５ D．７２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０４􀅰 ４．(多选题)下列命题中为真命题的是 (　　) A．若a,b,c成等差数列,则a２,b２,c２ 一定成 等差数列 B．若a,b,c成等差数列,则２a,２b,２c 可能成 等差数列 C．若a,b,c成等差数列,则ka＋２,kb＋２,kc ＋２(k为常数)一定成等差数列 D．若a,b,c成等差数列,则１a ,１ b ,１ c 可能成 等差数列 ５．等差数列{an}的前n项和为Sn,若公差d＞ ０,(S８－S５)􀅰(S９－S５)＜０,则 (　　) A．a７＝０ B．|a７|＝|a８| C．|a７|＞|a８| D．|a７|＜|a８| ６．(多选题)已知数列{an}的前n项和为Sn, a１＝１,a２＝２,且对于任意n＞１,n∈N∗ , 满足Sn＋１＋Sn－１＝２(Sn＋１),则 (　　) A．a９＝１７ B．a１０＝１８ C．S９＝８１ D．S１０＝９１ 二、填空题 ７．在等差数列{an}中,a１＝７,公差为d,前n项 和为Sn,当且仅当n＝８时,Sn 取得最大值, 则d的取值范围为　　　　． ８．在等差数列{an}中,a１＝０,公差d≠０,若am ＝a１＋a２＋􀆺＋a９,则m 的值为　　　　． ９．等差数列{an}中,已知Sn 是其前n 项和,a１ ＝－９, S９ ９－ S７ ７＝２ ,则an＝　　　　,S１０＝ 　　　　． １０．等差数列{an}的各项均不为零,其前n项和 为