高效作业(二十) 导数在研究函数中的应用-【优化探究】2025年高二数学暑假高效作业（新教材，北师大版）

高效作业(二十)　导数在研究函数中的应用 １．函数的单调性与导数的关系 函数y＝f(x)在区间(a,b)内可导, (１)若f′(x)＞０,则f(x)在区间(a,b)内是单 调　　　　函数; (２)若f′(x)＜０,则f(x)在区间(a,b)内是单 调　　　　函数; (３)若恒有f′(x)＝０,则f(x)在区间(a,b)内 是　　　　函数． ２．函数的极值 (１)函数的极小值: 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它 在点x＝a附近其他点的函数值都小,f′(a) ＝０;而且在点x＝a附近的左侧f′(x)　　 　　０,右侧f′(x)　　　　０,则点a叫作函 数y＝f(x)的极小值点,f(a)叫作函数y＝ f(x)的　　　　． (２)函数的极大值: 函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它 在点x＝b附近其他点的函数值都大,f′(b) ＝０;而且在点x＝b附近的左侧f′(x)　　 ０,右侧f′(x)　　　０,则点b叫作函数y＝ f(x)的极大值点,f(b)叫作函数y＝f(x)的 　　　．极小值点、极大值点统称为极值点, 极大值和极小值统称为极值． ３．函数的最值 (１)在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a, b]上必有最大值与最小值． (２)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a)为 函数的　　　　,f(b)为函数的　　　　;若函 数f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a)为函数的 　　　　　,f(b)为函数的　　　　． 一、选择题 １．函数y＝４x２＋１x 的单调增区间为 (　　) A．(０,＋∞)　　　　　B．１２ ,＋∞ æ è ç ö ø ÷ C．(－∞,－１) D．－∞,－１２ æ è ç ö ø ÷ ２．(多选题)已知函数y＝f(x)的导函数f′(x)的 图象如图所示,则下列判断正确的是 (　　) A．函数y＝f(x)在区间 －３,－１２ æ è ç ö ø ÷内单调递增 B．当x＝－２时,函数y＝f(x)取得极小值 C．函数y＝f(x)在区间(－２,２)内单调递增 D．当x＝３时,函数y＝f(x)有极小值 ３．已知函数f(x)＝x３＋ax２＋bx＋a２ 在x＝１ 处有极值１０,则f(２)等于 (　　) A．１１或１８ B．１１ C．１８ D．１７或１８ ４．若函数f(x)＝kx－lnx在区间(１,＋∞)上 单调递增,则k的取值范围是 (　　) A．(－∞,－２] B．(－∞,－１] C．[２,＋∞) D．[１,＋∞) ５．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,设函 数f(x)的导函数为f′(x),若对任意x＞０ 都有２f(x)＋xf′(x)＞０成立,则 (　　) A．４f(－２)＜９f(３) B．４f(－２)＞９f(３) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６４􀅰 C．２f(３)＞３f(－２) D．３f(－３)＜２f(－２) ６．(多选题)对于函数f(x)＝xex ,下列说法正确 的有 (　　) A．f(x)在x＝１处取得极大值１e B．f(x)有两个不同的零点 C．f(４)＜f(π)＜f(３) D．πe２＞２eπ 二、填空题 ７．函数f(x)＝x３－１５x２－３３x＋６的单调递减 区间为　　　　． ８．已知函数f(x)＝－x３＋ax２－x－１在R上 单调递减,则实数a的取值范围是　　　　． ９．y＝x＋２cosx 在区间 ０,π２ é ë êê ù û úú上的最大值是 　　　　． １０．若x＝－２是函数f(x)＝(x２＋ax－１)ex 的极值点,则f′(－２)＝　　　　,f(x)的 极小值为　　　　． 三、解答题 １１．已知函数f(x)＝x４＋ a x－lnx－ ３ ２ ,其中a ∈R,且曲线y＝f(x)在点(１,f(１))处的切 线垂直于直线y＝１２x． (１)求a的值; (２)求函数f(x)的单调区间． １２．已知函数f(x)＝lnx－ax． (１)若a＞０,试判断f(x)在定义域内的单 调性; (２)若f(x)在[１,e]上的最小值为３２ ,求实 数a的值． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋