第03讲 空间向量及其应用-【练透核心考点】2024年高考数学一轮复习全题型突破（新教材新高考）

第03讲 空间向量及其应用 目录 题型一：空间向量的线性运算 1 题型二：共线、共面向量定理的应用 3 题型三：求数量积 6 题型四：求长度 9 题型五：求夹角 12 题型六：向量的投影和投影向量 16 题型七：空间向量夹角为钝角（锐角）求参数 18 题型八：求平面的法向量 20 题型九：利用空间向量证明平行与垂直 21 题型一：空间向量的线性运算 典型例题 例题1．（2023秋·山东滨州·高二统考期末）如图，在四面体OABC中，，，．点在上，且满足，为的中点，则（    ）    A． B． C． D． 例题2．（2023春·广东·高二统考阶段练习）在三棱柱中，，若点为的中点，则（    ） A． B． C． D． 精练核心考点 1．（2023春·河南周口·高二校联考阶段练习）三棱锥中，M是平面BCD内的点，则以下结论可能成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023秋·高一单元测试）下列条件能使点与点一定共面的是（    ） A． B． C． D． 题型二：共线、共面向量定理的应用 典型例题 例题1．（2023春·甘肃兰州·高二兰州一中校考期末）已知矩形为平面外一点，平面，点满足，．若，则（    ） A． B．1 C． D． 例题2．（2023春·福建莆田·高二统考期末）若点平面，且对空间内任意一点满足，则的值是（    ） A． B． C． D． 例题3．（2023春·高二课时练习）对于空间任意一点，以下条件可以判定点､共线的是 （填序号）. ①； ②； ③； ④. 精练核心考点 1．（2023春·福建龙岩·高二校联考期中）设向量，，不共面，已知，，，若A，C，D三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2023春·高二课时练习）如图，在正方体 中，点E是上底面 的中心，若，求 的值． 3．（2023春·上海奉贤·高二校考阶段练习）已知A，B，C，D四点共面且任意三点不共线，平面外一点O，满足，则 ． 题型三：求数量积 典型例题 例题1．（2023·江苏·高二专题练习）如图，各棱长都为的四面体中 ，，则向量（    ） A． B． C． D． 例题2．（2023春·宁夏固原·高二校考阶段练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 例题3．（2023春·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考阶段练习）平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，求的值是 ． 精练核心考点 1．（2023春·陕西西安·高一长安一中校考期末）在正三棱锥中，是的中心，，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（2023春·福建福州·高二校联考期中）已知，，，则 . 3．（2023春·高二课时练习）如图, 在直三棱柱 (即平面),, , 求 题型四：求长度 典型例题 例题1．（2023春·福建宁德·高二校联考期中）如图，在平行六面体中，，，，，为中点，则的长为（    ）    A． B． C． D． 例题2．（2023·西藏日喀则·统考一模）已知向量，若与垂直，则（    ）. A． B． C． D． 例题3．（2023春·陕西宝鸡·高一宝鸡中学校考期末）如图所示，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，为与的交点.若，，.    (1)用，，表示； (2)求. 精练核心考点 1．（2023·江苏·高二专题练习）已知平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为2，且它们彼此的夹角都是，则 . 2．（2023春·陕西安康·高二校联考期末）已知空间向量，，两两夹角均为，其模均为1，则 ． 3．（2023春·福建漳州·高二统考期末）已知空间向量，若，则（    ） A．5 B． C． D． 4．（2023春·甘肃临夏·高二统考期末）在空间直角坐标系中，若，，且，则（    ） A． B． C． D． 题型五：求夹角 典型例题 例题1．（2023·全国·高一专题练习）在平行六面体中，，且，则的余弦值是 . 例题2．（2023秋·高二课时练习）已知，则直线与的夹角为（    ） A． B． C． D． 例题3．（2023秋·高二课时练习）已知，则 ． 例题4．（2023秋·湖南郴州·高二统考期末）已知空间向量，，，，． (1)求，，； (2)求与所成角的余弦值． 精练核心考点 1．（2023·上海·高三专题练习）已知向量，向量，则与的夹角的大小为 . 2．（2023春·四川成都·高二统考期中）已知，，且，则向量与的夹角为 3．（2023·江苏·高二专题练习）如图：正三棱锥中，分别