解三角形 学案——2024届北京市高考数学一轮复习

2024届北京高考数学一轮复习学案之《解三角形》 1、 知识点总结 1. 1 正弦定理 一、三角形的面积公式 1. 一般地，若记△ABC的面积为S，则S= absin C=acsin B=bcsin A. 二、正弦定理 1. 文字语言：在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等 2. 符号语言： 三、正弦定理的推论及常见变形 1. 正弦定理的推论：在△ABC中， (R为△ABC外接圆的半径). 2. 常见变形 (1)a=2Rsin A，b=2Rsin B，c=2Rsin C； (2)sin A=，sin B=，sin C=； (3)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C. 四、解三角形 　　习惯上，我们把三角形的3个角与3条边都称为三角形的元素 ，已知三角形的 若干元素求其他元素一般称为解三角形. 五、三角形中的常用结论 1. 三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 2. 三角形中，大边对大角，大角的正弦值也较大，即a>b⇔A>B⇔sin A>sin B； 3. 在△ABC中，A+B+C=π，sin(A+B)=sin C，cos(A+B)=-cos C，sin=cos，cos=sin； 4. 三角形中最大内角的取值范围是，最小内角的取值范围是. 六、用正弦定理解三角形时如何确定解的个数 1. 利用正弦定理解三角形常分为两类： (1)已知两角和任意一边，求其他的边和角； (2)已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角. 其中，第(1)类问题的解是唯一的，但第(2)类问题可能出现多解或无解的情况，判断 解的情况可从代数和几何角度出发，以下举例说明. 在△ABC中，已知a，b，A，用正弦定理求B时，解的情况如下： ①若sin B=>1，则满足条件的三角形的个数为0，即无解； ②若sin B==1，则满足条件的三角形的个数为1，即有一个解； ③若sin B=<1，则B可为锐角，也可为钝角，这时再根据“大边对大角”和“A+B+C=180°”等进一步确定三角形是有一个解还是两个解. 七、如何用正弦定理判断三角形的形状 1. 利用正弦定理判断三角形形状的方法 (1)化边为角. 利用正弦定理得出三角形内角之间的关系并进行判断. 例如在△ABC中，sin A=sin B⇒A=B，sin(A-B)=0⇒A=B，sin 2A=sin 2B⇒A=B或A+B=90°等. 常用的转化方式有： ①a=2Rsin A，b=2Rsin B，c=2Rsin C；②===. (2)化角为边. 利用代数变换得出三角形的边之间的关系并进行判断. 常用的转化方式有：①sin A=，sin B=，sin C=；②=， ==. 八、如何用正弦定理解决三角形中的最值和范围问题 1. 解决三角形中的最值和范围问题时，通常有两种基本思路，一是将角转化为边， 然后借助均值不等式、函数单调性等进行求解；二是将边转化为角，然后通过三 角恒等变换，借助三角函数中的相关知识求解. 两种思路都要借助正弦定理进行 边和角的转化. 2. 注意三角形中隐含条件的挖掘，如两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 等，据此建立不等式(组)确定边的取值范围；三角形中各内角均为正角，且内角和 等于180°，据此建立不等式(组)确定角的范围，进而利用三角函数的单调性确定取 值范围. 3. 将三角形中的边转化为角求解范围时，要注意辅助角公式、降幂公式等在解题 中的合理运用. 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1. 2 余弦定理 一、余弦定理 1. 文字语言：三角形任何一边的平方，等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的2倍 2. 符号语言：a2=b2+c2-2bccos A；b2=c2+a2-2cacos B；c2=a2+b2-2abcos C 二、余弦定理的变形 cos A=；cos B=；cos C=. 三、如何用正、余弦定理解三角形 　　三角形共有6个元素，有时已知条件比较复杂，这就需要我们正确地辨别条件，恰当选择定理来解决问题. 1. 当已知条件以边或正弦值之比的关系出现时，考虑用正弦定理； 2. 当已知条件涉及内角的正弦或外接圆半径时，考虑用正弦定理； 3. 当已知条件涉及内角的余弦值，边的平方或者边的乘积时，考虑用余弦定理； 4. 正弦定理和余弦定理交替使用，进行边与角的互化，解决问题. 四、如何用余弦定理根据三角形的形状确定边的取值范围 1. 在根据三角形的形状确定边的取值范围时，主要依据余弦定理，将角为直角、钝 角、锐角分别转化为两边的平方和与第三边平方的大小关系，进而通过解方程(组)或不等式(组)求得结果. 2. 求边的取值范围时，还要注意各边长度均为正值，两边之和大于第