第47讲 二项展开式问题（讲义+课件）-2024年新高考数学一轮复习考点点点通与精准提升（新高考通用）

第47讲 二项展开式问题 1.二项式定理 (1)二项式定理：； (2)二项展开式的通项公式：，它表示第项； (3)二项式系数：二项展开式中各项的系数. 2.二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即. (2)增减性： 当时，随的增加而增大； 当时，随的增加而减小. (3)最大值： 当n为偶数时，中间的一项取得最大值； 当n为奇数时，中间的两项和相等，且同时取得最大值 3.三项（及以上）展开式问题 基本题型：求的展开式中含有的项. 解决思路1：利用完全平方公式将三项式转化为二项式，从而用二项式定理解决即可. 解决思路2：从个中取出个，再从剩下的个中取出个，剩下的个中全部取出，从而含有的项为：. 4.常用结论 (1). (2). 考点一 二项展开式问题 考点二 三项（及以上）展开式问题 考点三 利用项的系数求参数 考点四 赋值法求部分项系数或二项式系数和 考点一：二项展开式问题 例1．（2023·山东烟台·统考二模）设，若，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据二项式展开式的通项公式求，列方程求. 【详解】二项式的展开式的通项为， 所以，，又， 所以， 所以， 故选：B. 例2．（2023·四川绵阳·统考二模）已知的展开式中常数项为24，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】写出展开式通项，可得，解出即可得到结果. 【详解】的展开式的通项，. 令，，可得常数项为. 由已知得，，解得. 故选：D. 考点二：三项（及以上）展开式问题 例3．（2023·全国·校联考三模）的展开式中的系数为（    ） A．18 B．135 C．540 D．1215 【答案】C 【分析】根据二项式展开式的通项即可求解. 【详解】， 的展开式的通项为. 因为的展开式中没有项， 的展开式中项为， 所以的展开式中的系数为540. 故选：C. 例4．的展开式中，的系数为（　　） A．60 B． C．30 D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用多项式乘法结合组合应用问题，列式计算作答. 【详解】因为，于是在5个多项式中，取2个用，再从余下3个多项式中取2个用， 最后1个多项式用常数项相乘，因此含的项为， 所以的系数为60. 故选：A 考点三：利用项的系数求参数 例5．（2023·江西新余·统考二模）二项式的展开式中含有常数项，则的最小值等于________. 【答案】3 【分析】先求出二项式展开式的通项公式，令的指数为0，再根据的取值范围可求得结果 【详解】二项式的展开式为， 令，， 则， 因为，所以当时，取得最小值3， 故答案为：3 例6．（2023·四川达州·统考二模）若展开式的二项式系数和为64，则展开式中系数为___________. 【答案】 【分析】根据二项式系数和求得，根据二项式展开式的通项公式求得的系数. 【详解】依题意的展开式的二项式系数和为，所以，即. 二项式展开式的通项公式为. 令，所以展开式中含的系数为. 故答案为： 考点四：赋值法求部分项系数或二项式系数和 例7．（2023·陕西安康·统考三模）在的展开式中，下列说法正确的是（   ） A．所有项的二项式系数和为1 B．第4项和第5项的二项式系数最大 C．所有项的系数和为128 D．第4项的系数最大 【答案】B 【分析】展开式所有项的二项式系数和为，A错误，展开式共有8项，第4项和第5项二项式系数最大，B正确，令得C错误，第4项系数小于0，第3项系数大于0，D错误，得到答案. 【详解】对选项A：展开式所有项的二项式系数和为，错误； 对选项B：展开式共有8项，故第4项和第5项二项式系数最大，正确； 对选项C：令得所有项的系数和为，错误； 对选项D：，，系数小于0， ，系数大于0， D错误. 故选：B 一、单选题 1．（2023·四川攀枝花·统考三模）的展开式中，常数项是（    ） A． B． C．9 D．10 【答案】A 【分析】由二项式定理的通项公式计算可得结果. 【详解】∵， 第项为：，， 的第项为：， ∴展开式中的常数项. 故选：A. 2．的展开式中的系数是（    ） A．20 B． C．10 D． 【答案】D 【分析】先把二项式分为三部分，分别求每个二项式展开式中的系数计算即可. 【详解】因为, 展开式中的项是, 则展开式中的系数是. 故选:D. 3．设，若，则实数a的值为（    ） A．2 B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】对已知关系式两边同时求导，然后令，建立方程即可求解. 【详解】对已知关系式两边同时求导可得： ， 令，则， ，即，解得：. 故选：A. 4．已知，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二项式展开