1.2.3充分条件、必要条件 课件——2023-2024学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册

第一章 集合与常用逻辑用语 §1.2.3 充分条件、必要条件 1 尝试与发现 我们已经接触过很多形如“如果p，那么q”的命题，例如： （1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； （2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么这个锐角所对的直角边等于斜边的一半； （3）如果x>2，那么x>3； （4）如果a>b且c>0，那么ac>bc. 在“如果p，那么q”形式的命题中，p称为命题的条件，q称为命题的结论. 一、充分条件、必要条件 若“如果p，那么q”是一个真命题，则称由p可以推出q，记作 ，读作“p推出q”. 1.定义：当 时，我们称p是q的充分条件，q是p的必要条件； （当 时，我们称p不是q的充分条件， q不是p的必要条件.） A B 一、充分条件、必要条件 因此，“如果p，那么q”是真命题， ， p是q的充分条件，q是p的必要条件； ， p不是q的充分条件， q不是p的必要条件. 例如，因为“如果x = -y，则 x²= y²”是真命题，所以 x = -y是 x²= y²的_____条件， x = -y是 x²= y²的_____条件. 又如，因为命题“若A∩B≠∅，则A≠∅”是真命题，所以A∩B≠∅_____A≠∅ A∩B≠∅是A≠∅的_____条件， A∩B≠∅是A≠∅的_____条件. 充分 充分 必要 必要 一、充分条件、必要条件 例1 判断下列各题中，p是否是q的充分条件，q是否是p的必要条件： （1）p:x∈Z，q:x∈R； （2）p:x是矩形，q:x是正方形. 解（1）因为整数都是有理数，从而一定也是实数，即 ，因此p是q的充分条件，q是p的必要条件. （2）因为矩形不一定是正方形，即 ，因此p不是q的充分条件，q不是p的必要条件. 一、充分条件、必要条件 例2 说明下述命题是否可以看成判定定理或性质定理，如果可以，说出其中涉及的充分条件或必要条件： （1）形如y=ax2（a是非零常数）的函数是二次函数； （2）菱形的对角线互相垂直. 解（1）这可以看成一个判定定理，因此“形如y=ax2（a是非零常数）的函数”是“这个函数是二次函数”的_____条件 （2）这可以看成菱形的一个性质定理，因此“四边形对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的_____条件 充分 必要 二、充要条件 1.充分不必要条件：一般地，如果 且 则称p是q的充分不必要条件. 例，因为x>3 x>2，所以x>3是x>2的充分条件，又因为x>3 x>2，所以x>3不是x>2的必要条件，即x>3是x>2的充分不必要条件》 2.必要不充分条件：一般地，如果 且 则称p是q的必要不充分条件. 例，x(x+1)=0是x=0的必要不充分条件. 二、充要条件 3.充要条件：如果 且 则称p是q的充分必要条件（简称充要条件）.记作 ，也读作“p与q等价”“p当且仅当q”. 当然， p是q的充要条件时， q是p也是的充要条件. 例，当x≥0时， 有意义；当 有意义时，x≥0.因此“x≥0”是“ 有意义”的充要条件 二、充要条件 例3 在△ABC中，判断∠B=∠C是AC=AB的充要条件. 解 因为“在三角形中，等边对等角”，所以∠B=∠C AC=AB； 又因为“在三角形中，等边对等角”，所以AC=AB ∠B=∠C. 从而∠B=∠C AC=AB，因此△ABC中∠B=∠C是AC=AB的充要条件. 归纳总结 1.如果p q且q p，则称p是q的________________条件 2.如果p q且q p ，则称p是q的________________条件 3.如果p q且q p ，则称p是q的________________条件 4.如果p q且q p ，则称p是q的________________条件 充分不必要 必要不充分 充要 既不充分也不必要 练习A 1.设区间A=(-0，-1],B=(-∞，1)，判断x∈A 是否是x∈B的充分条件和必要条件. 解： x ∈A 是x∈B的必要不充分条件. 练习A 2.说明下述命题是否可以看成判定定理或性质定理，如果可以，说出其中涉及的充分条件或必要条件: (1)形如y=x²+bx