第1章 特殊平行四边形（压轴题专练）-2023-2024学年九年级数学上册单元速记·巧练（北师大版）

第1章 特殊平行四边形（压轴题专练） 题型01：存在性问题 1．如图，平面直角坐标系中直线：分别与轴，轴交于点和点，过点的直线与轴交于点，． (1)求直线的解析式； (2)若为线段上一点，为线段上一点，当时，求的最小值，并求出此时点的坐标； (3)在（2）的结论下，将沿射线方向平移得，使落在直线上，若为直线上一点，为平面内一点，当以点为顶点的四边形为菱形时，请直接写出点的坐标． 2．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，将绕点O顺时针旋转得（点A与点C对应，点B与点D对应）． (1)求直线的解析式； (2)点E为线段上一点，过点E作轴交直线于点F，作轴交直线于点G，当时，求点E的坐标； (3)如图2，若点M为线段的中点，点N为直线上一点，点P为坐标系内一点，且以O，M，N，P为顶点的四边形为矩形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标． 3．如图，直角三角形在平面直角坐标系中，直角边在y轴上，的长分别是一元二次方程的两个根，A，且，P为上一点，且． (1)求点A的坐标； (2)求过点P的反比例函数解析式； (3)点M在第二象限内，在平面内是否存在点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），以OA为一边在第一象限内作矩形OABC，直线CD：交AB于点E，与y轴交于点D，． (1)求点B的坐标． (2)点P为线段CE上的一个动点，过点P作轴，交AB于点F，交x轴于点G，连接FD，设点p的横坐标为m，△DFP的面积为S，求S关于m的函数关系式． (3)在（2）的条件下，连接BP并延长与x轴交于点M，过点P作，与x轴交于点，当时，在直线CD上是否存在一点R，过点作轴交直线于点Q，得，若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由． 题型02：动态问题 5．如图①，的顶点P是正方形两条对角线的交点，，将绕点P旋转，旋转过程中的两边分别与正方形的边和交于点E和点F（点F与点C，D不重合）    (1)如图①，当时，之间满足的数量关系是____________； (2)如图②，将图①中的正方形改为的菱形，M是中点，其他条件不变，当时，求证：． (3)在（2）的条件下，若旋转过程中的边与线段延长线交于点E，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，之间满足的数量关系． 6．【证明推断】（1）如图1，在矩形中，，点P是的中点，将沿直线折叠得到，点落在矩形的内部，延长交于点E，连接． 求证：①；②；③若，求的长；        【类比探究】（2）如图2，将（1）中“矩形”改为“平行四边形”，其他条件不变，（1）中的①②结论是否仍然成立？请说明理由； 【拓展运用】（3）如图3，在平行四边形中，，点P是的中点，将沿直线折叠得到，点落在的内部，延长交于点E，连接．连接与交于点M，与交于点N． 求证：四边形是矩形． 7．如图，四边形为菱形，，，点E为边上动点（不含端点）点B关于直线的对称点为点F，点H为中点． （1）若，求的长； （2）作，垂足为G，当时，求的度数； （3）在（2）的条件下，设射线交于M，求的长． 8．如图．四边形ABCD、BEFG均为正方形． （1）如图1，连接AG、CE，请直接写出AG和CE的数量和位置关系（不必证明）． （2）将正方形BEFG绕点B顺时针旋转角（），如图2，直线AG、CE相交于点M． ①AG和CE是否仍然满足（1）中的结论？如果是，请说明理由：如果不是，请举出反例： ②连结MB，求证：MB平分． （3）在（2）的条件下，过点A作交MB的延长线于点N，请直接写出线段CM与BN的数量关系． 题型03：情景探究题 9．综合与实践 数学活动：数学活动课上，老师提出如下数学问题： 已知四边形与四边形都为正方形，P为的中点，连接，，如图1，当点E在上时，求证：． (1)独立思考：请你证明老师提出的问题； (2)合作交流：解决完上述问题后，“翱翔”小组的同学受此启发，把正方形绕点B顺时针旋转，当点F落在对角线上时（如图2），他们认为老师提出的结论仍然成立．请你予以证明； (3)问题解决：解决完上述问题后，“善思”小组提出如下问题，把正方形绕点B顺时针旋转（如图3），当点D，E，F在同一条直线上时，与交于点H．若，，请直接写出的值． 10．已知四边形和都为正方形，连接，，，点，，分别是，，的中点． (1)观察思考 如图①，点，分别在，上，线段和的数量关系和位置关系为______； (2)探究证明 如图②，将正方形绕点旋转，在旋转的过程中和的上述关系是否发生变化？请结合图②说明理由； (3)综合实践 如图③，连接，取的中点，连接，. ①判断四边形的形状，并说明理由； ②若，，在旋转的过程中，四边形的周长的