卷2 第一章 特殊平行四边形 提优验收卷（B卷）-【初中上分卷】2025-2026学年九年级上册数学配套课件（北师大版）

数 学 九年级上册 北师大版 1 2 3 卷2 第一章提优验收卷（B卷） 考查内容：特殊平行四边形 4 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出的选 项中，只有一个选项符合题意） （第1题图） 1.［2025河南周口期末］用图（1）所示的边长为1的正 方形做了一套七巧板，拼成如图（2）所示的一座桥， 则桥中阴影部分的面积为原正方形面积的( ) A A. B. C. D.不能确定 【解析】由题图可得，桥中阴影部分的面积为原正方形的面积的 .故选A. 时间： 满分：120分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 6 （第2题图） 2.［2025陕西榆林榆阳区校级月考］如图，在中， ， 垂足为，是的中点．若，则 的长为( ) A A.10 B.8.5 C.7.5 D.2.5 【解析】，是 的中点， .又， ，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 7 3.［2025河北邢台任泽区期末］小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图， 处需要添加条件，则下列条件添加错误的是( ) D A.（1）处可填 B.（2）处可填 C.（3）处可填 D.（4）处可填 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 8 【解析】A选项，有一个角是直角的平行四边形是矩形， （1）处可填 是正确的，故该选项不符合题意；B选项，有一组邻边相等的矩形是正方形， 处可填 是正确的，故该选项不符合题意；C选项，有一组邻边相等 的平行四边形是菱形，处可填 是正确的，故该选项不符合题意；D 选项，有一个角是直角的菱形是正方形，由 无法判定两角是不是直角， 处可填 是错误的，故该选项符合题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 9 （第4题图） 4.［2024山东淄博二模］如图，菱形的对角线 ， 相交于点，过点作于点，连接 ， .若菱形的面积为12，则 的长为( ) C A.10 B.4 C. D.6 【解析】 四边形是菱形， ， ，， ， ，， 菱形 的面积为 ，，.在 中，由勾股定理得 ，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 10 （第5题图） 5.［2025山东青岛崂山区月考］如图，四边形 是正方 形，是等边三角形，则 的度数是( ) D A. B. C. D. 【解析】是等边三角形，四边形 是正方形， , ， , , ， ，故选D． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 11 （第6题图） 6.［2024海南定安二模］如图，在菱形 中，分别以点 ，为圆心，大于 长为半径画弧，两弧分别交于点 ，，连接．若直线恰好过点且交于点 ，连 接，则 的度数是( ) D A. B. C. D. 【解析】连接.由作法得垂直平分， 四边形 为菱形， ，，， ， 为等 边三角形， ， .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 12 （第7题图） 7.［2025河北保定期末，中］如图，将矩形纸片 对折，使 与边重合，将纸片展平，得到折痕 ，再将纸片沿过点 的直线折叠使点落在上，对应点为，折痕为 ， ，，则 的长度为( ) A A. B.4 C. D.3 【解析】由折叠的性质得，， ， 四边形是矩形，， ， ，.在 中，由勾股定理得 . ， 四边形 是矩形，， ，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 13 （第8题图） 8.［2025陕西西安校级期末，中］李老师用一段矩形绸缎制作了一 条如图所示宽为的蓝丝带.若 ，则重叠部分图形的 形状和面积分别是( ) D A.平行四边形， B.平行四边形， C.菱形， D.菱形， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 14 【解析】 . 分别过，作于点，于点，如图， . 由题意得，，， 四边形 是平行四边形. ，, 是等腰直角三角形， ,, 四边形 是菱形.又 , ，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 15 （第9题图） 9.［2025福建漳州月考，较难］如图，在矩形中，以点 为 圆心，长为半径画弧交于点，交于点，连接 ，以点 为圆心，长为半径画弧，与弧交于点，连接 并延长交 于点.若，，则 的长为( ) B A.5.5 B.5 C.4.5 D.4 【解析】连接.由题意得，.在和 中， ， 四边形 是矩形， ，,， ， ， ，故选B． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 16 （第10题图） 10.［2024江苏无锡模拟，难］如图，在正方形 中， ，对角线上有一动点，以为边在 右侧作 正方形．下列结论：①在点运动过程中， 点始终 在射线上；②在点运动过程中，可能为 ； ③若是的中点，连接，则的最小值为 ； 为等腰三角形时，的值为或 ．其 中结论正确的是( ) C A.①②③ B.①③④ C.①③ D.②④ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 17 【解析】如图（1），连接，过点作交于 四边形 和四边 形都是正方形，， ， ，， ， ， ， ， ， ，，， 三点共线，故 ①正确.若 ，， ， ，则点与点重合，此时 不存在，故②错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 18 图（1） 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 19 如图（2），取的中点，连接 点是的中点，点是 的中点， , ， .又，， 点 是 线段上一点， 当时，有最小值，为，的最小值为 ，故 ③正确.，.当点是 中点时， ，此时是等腰三角形；当时， 是 等腰三角形，此时；当点与点重合时，，此时 是等 腰直角三角形，故④错误，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 20 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） （第11题图） 11.［2025福建莆田期末］中国结寓意团圆、美满， 以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文 化底蕴.小芳家有一个如图（1）所示的菱形中国结装 饰，图（2）是其示意图，测得 ， ，则该菱形的面积为____ ． 24 【解析】 四边形是菱形，， ， ，故答案为24． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 21 （第12题图） 12.［2025辽宁沈阳沈河区校级月考］如图，在 中， ，，是斜边的中点，连接，以 为 边作正方形.若的面积是，则正方形 的周 长是___． 8 【解析】 ，，的面积是， ， 是斜边 的中点， ， 正方形的周长为 ，故答案为8． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 22 （第13题图） 13.［2025吉林松原宁江区校级期中］如图，在直角坐标系中， 菱形的顶点的坐标是，则顶点 的坐标是______． 【解析】如图，延长交轴于 四边形 是菱形， 轴， 点的坐标是， ， ， 点 的纵坐标为4， ， ， ，即点的横坐标是8， 点的坐标是 ．故答 案为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 （第14题图） 14.［2025河南郑州月考］如图，在矩形中,点 在上，，点在上，且，与 交于 点，则 ______． 【解析】设，，则 ， 四边形是矩形， .在 和中，由勾股定理，得 ， ， .故 答案为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 24 15.［2025四川成都青羊区月考，中］如图，在矩形 中， 对角线,相交于点，平分交边于点，点 是 的中点，连接.若，则 的长度为_ ____． 【解析】 四边形是矩形，， ， ， ， ， ，.在 中， .平分 ， ， ， ， 点是的中点，点是 的中点， .故答案为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 25 16.［2025广东深圳罗湖区校级月考，难］如图，正方形的边长为 ，以 为腰作等腰，，平分交于点，交 的延长线于点 ，连接．若，则 _ ___． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 26 【解析】 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 27 过点作于，连接交于点，如图所示. 四边形 为正方形， 且边长为，， 是等腰三角 形，,，， ， .在 中，由勾股定理得 平分， .又 ， ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 28 为等腰直角三角形，， ， .在和 中， ，.又, ，为等腰直角三角形，.在 中，由勾股定理得，， ， .在 中，由勾股定理得 .设 ，则 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 .在 中，由勾股定理得 ；在 中，由勾股定理得 ， ，解得，即 ， ．故答案为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 三、解答题（本大题共6小题，共66分） 17.［2024四川广安中考］（8分）如图，菱形 中，点 ，分别是，边上的点， ，求证： ． 【证明】 四边形是菱形,， ， ，即 .…………（3分） 在和中， ，…………（6分） ， ．…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 31 【思路分析】首先由菱形的性质推出， .再根据 ，得到.最后由推出，得到 ，进而得 出 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 32 18.［2025云南昆明西山区期末］（10分）如图，在中， ， 于点，，是斜边的中点，求 的度数． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 33 【解】 ， ， ， . ， ， .…………（4分） 是斜边 的中点， ，…………（7分） ， ， 的度数为 ．…………（10分） 【关键点拨】熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 34 19.［2025江苏宿迁期末，中］（10分）如图，四边形是矩形 ． （1）尺规作图：作以为对角线，且点,分别在,上的菱形 ； （要求：不写作法，保留作图痕迹） 【解】如图，菱形 即为所求. …………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 35 （2）若，，求菱形 的边长． 【解】 四边形是矩形，,， .设菱形 的边长为，则 .…………（6分） 在中，由勾股定理得，解得，即菱形 的边 长为 ．…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 36 【关键点拨】本题考查了尺规作图、菱形的性质和矩形的性质，正确地作出图形 是解题的关键． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 37 20.［2025河南新乡红旗区校级期末，中］（12分）如图，在 中， ,延长至，使得，过点，分别作，， 与相交于点 ．下面是两位同学的对话： ____________ 小星：由题目的已知条件，若连 接，则可证明 ． 小红：由题目的已知条件，若连 接，则可证明 ． ___________ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 38 （1）请你选择一位同学的说法，并进行证明； 【解】选择小星的说法.证明如下：如图（1）. 图（1） ，， 四边形 是平行四边形， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 39 ， . ,点在 的延长线上， ， 四边形 是平行四边形. ， 四边形 是矩形， ， .…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 图（2） 选择小红的说法.证明如下：如图（2），连接 . ， ， 四边形是平行四边形，， . ， . ,点在的延长线上， ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 41 四边形 是平行四边形. ， 四边形 是矩形， ， .…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 【关键点拨】熟练掌握平行四边形的判定和性质以及矩形的判定和性质是解决本 题的关键； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 43 （2）连接，交于点，试判断与 有怎样的数量关系，并证明你的结论． 【解】 .…………（7分） 图（3） 证明如下:如图（3）， 连接 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 44 由（1）可得四边形是矩形， . ， 是 的中位线， ．…………（12分） 【关键点拨】证明是 的中位线是解决本题的关键． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 21.［2024湖南长沙天心区校级模拟］（12分）如图，在平行四边形 中， ，，点,分别是,的中点，连接,,,过点 作 ，交的延长线于点 ． （1）求证：四边形 是菱形； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 46 【证明】 四边形 是平行四边形， , . 点,分别是, 的中点， ，, , , 四边形 是平行四边形. ，, ， 是等边三角形， ， ， 四边形 是菱形.…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 47 【思路分析】利用平行四边形的性质证得 是等边三角形，从而证得 ，问题得证； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 （2）［中］请判断四边形 是什么特殊四边形？并加以证明； 【解】四边形 是矩形.…………（5分） 证明如下： 四边形 是平行四边形， . 点在的延长线上， . 又， 四边形 是平行四边形. 为菱形 的对角线， 易得 ， ， 四边形 是矩形.…………（9分） 【思路分析】利用平行四边形的性质证得 ，根据有一个角是直角的 平行四边形是矩形判定即可； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 49 （3）［难］若，求四边形 的面积． 【解】由（2）得， ， . 在中，由勾股定理得 ， ，解得 （负值已舍去）， ．…………（12分） 【思路分析】由直角三角形的性质求得，再由 即可 得出答案． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 50 22.探究性试题［2024江苏南京鼓楼区期末］（14分） 图（1） 图（2） 【问题引入】 如图（1），，， ，是线段 的中 点,连接并延长交于点，连接,则与 之间的数量关系是_________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 51 【解析】 .…………（4分） 理由如下：， . 是的中点， . 在和中， ， . ，为 斜边上的中线， .故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 52 【问题延伸】 如图（2），在正方形和正方形中，点,, 在同一条直 线上，点在上，是线段的中点，连接, . （1）［偏难］判断与 之间的数量关系，并说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 53 【解】 .…………（5分） 理由如下：如图，延长交于点 . 四边形，为正方形，且点,, 在同一条直线上， ， ， . 为的中点， . 在和中， ， ， ，…………（8分） 为 斜边上的中线， .…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 54 （2）［难］连接，若，，求 的长. 【解】 四边形，为正方形， ， ， .设 ，则 ，. ， ，解得（舍去），， ， ， .…………（14分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 55 【关键点拨】运用正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及直角三角形斜边 上的中线等于斜边的一半证明线段之间的关系是解题的关键. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 56 $$