向量极化恒等式讲义-2024届高三数学一轮复习

浙江省温州市2023-2024学年高考数学专题--向量极化恒等式（含答案） 知识梳理 1.公式推导 在△中，是边的中点，则. 如图，由 得证. 我们从极化恒等式看到向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差，此恒等式的精妙之处在于建立向量与几何长度（数量）之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合. 2.几何意义 向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的。 考点探究 一、数量积与线性问题 引例：已知向量，满足，则 . 例1．已知向量满足，则最大值为 练习：1. 已知平面向量满足，，则的最小值 为 . 2. 已知向量满足的最小值为1，当最大时， 二、数量积与三角形问题 例2．设，是边上一定点，满足，且对于边上任一点，恒有，则（ ） A． B． C． D． 练习： 1.如图在三角形ABC中，D是BC的中点，E,F是AD上的两个三等分点，则值为______. 2.在三角形ABC中，D为AB中点，，E,F分别为BC,AC上的动点，且EF=1，则最小值为______ 3.已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是_____ 4.如图，已知B,D是直角C两边上的动点，，则的最大值为______ 5. 如图，在同一平面内，点位于两平行直线的同侧， 且到的距离分别为1,3，点分别在上， ，且的最大值是 . 6.如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA＝3，OC＝5，若·＝－7，则·的值是____． 7.在△ABC中，M是边BC的中点AM＝3，BC＝10，·＝__ __． 8.在△ABC中，点E，F分别是线段AB，AC的中点，点P在直线EF上，若△ABC的面积为2，则·＋2的最小值是____． 9.在△ABC中，已知AB＝1，AC＝2，∠A＝60°，若点P满足＝＋λ，且·＝1，则实数λ的值为__ _ 10.如图，在四边形中，，，为的中点. （1）若，求的面积； （2）若，求的值. 11.如图，在中，已知，点分别在边上，且，若为的中点，则的值为________. 12.如图，在平面四边形ABCD中，，，，. 若点M为边BC上的动点，则的最小值为 ▲ ． 13.在直角梯形ABCD中，已知BC∥，, 若为的中点，则= 。 14.在中，M是BC的中点，若，=，则 的最小值为 。 15.在平面四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，且AB=1，EF=，CD=．若=15，求的值。 16.正方形边长为1，中心为,直线经过中心，交于，交于，为平面上一点，且，则的最小值为 . 3、 数量积与圆问题 例3． 已知过点，且斜率为的直线与圆：相交于两点．求的值． 练习： 1．直线与圆相交于两点M,N,若，P为圆O上任意一点，则的取值范围为_______ 2. 如图，已知正方形的边长为，点为的中点. 以为圆心，为半径，作弧交于点.若为 劣弧 上的动点，则的最小值为 . 3. 如图，半径为2的扇形的圆心角为，分别为半径 的中点，为上任意一点，则的取值范围 是 . 4. 已知是单位圆上的两点，为圆心，且，是圆的一条直径， 点在圆内，且满足，则的取值范围是 . 5.已知为圆的直径，为圆的弦上一动点，，，则的取值范围是 ． 6.在平面直角坐标系中，圆C： 分别交轴的正半轴与的负半轴于点A，B。且P为圆C上的动点，则取值范围是 。 7.如图，在半径为1的扇形AOB中，∠AOB=60°，C为弧上的动点，AB与OC交于点P，则的最小值是　　． 8.正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，MN是它的内切球的一条弦（我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦），P为正方体表面上的动点，当弦MN的长度最大时，•的取值范围是　 　． 9.设是外接圆的圆心，分别为角对应的边，已知，则的范围是 . 四、数量积与圆锥曲线问题 例4．已知为双曲线上经过原点的一条动弦，为圆：上的一个动点，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 1. 已知分别是椭圆的左、右焦点。若C上存在一点P， 使得。则C的离心率的取值范围是 . 2.已知双曲线的左、右焦点分别为F1, F2, P为双曲线上任一点， 且·最小值的取值范围是，则该双曲线的离心率的取值范围 为