2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系4种常见考法归类-【考点通关】2023-2024学年高一数学高频考点与解题策略(人教B版2019必修第一册)

2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系4种常见考法归类 1、一元二次方程的解集 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其判别式Δ＝b2－4ac. (1)当Δ＝b2－4ac>0时，方程的解集为 ； (2)当Δ＝b2－4ac＝0时，方程的解集为； (3)当Δ＝b2－4ac<0时，方程的解集为∅. 注：对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，有 (1)当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x1，2＝； (2)当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝－； (3)当Δ＜0时，方程没有实数根． 2、一元二次方程的基本特征 一元二次方程的基本特征有两个：一是最高次幂，其指数为2；二是二次项系数不为0.判断方程解的情况，需依据判别式的符号．若二次项系数含有参数，则需要对参数进行分类讨论． 3、一元二次方程根与系数的关系 当一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解不是空集时，这个方程的解可以记为x1＝， x2＝，则有 4、一元二次方程的解法 （1）直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解； （2）配方法：通过方程的简单变形，将左边配成一个含有未知数的完全平方式，若右边是一个非负常数，则可以直接开平方求解； （3）公式法：将一元二次方程中的系数，，的值代入式子中求解； （4）因式分解法：通过移项将等式右边变成0，再因式分解，令每个因式为0即可求解。 5、一元二次方程根的个数问题 (1)只有当方程是一元二次方程时，才能利用根的判别式确定字母的取值范围． (2)对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其根的判别式为Δ＝b2－4ac. ①“方程有两个不相等的实根”的充要条件是“Δ>0”； ②“方程有两个相等的实根”的充要条件是“Δ＝0”； ③“方程有两个实根”的充要条件是“Δ≥0”； ④“方程没有实根”的充要条件是“Δ<0”．　 6、根与系数的关系 在求含有一元二次方程两根的代数式的值时，利用根与系数的关系解题可起到化难为易、化繁为简的作用．在计算时，要先根据原方程求出两根之和与两根之积，再将代数式变形为局部含有两根之和与两根之积的形式，然后代入求值． 7、应用一元二次方程的根与系数的关系时，常有以下变形： )－2x1x2＝(x1＋x2)2－2x1x2； (2)(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2； (3)|x1－x2|＝＝； (4)＝； (5)＝＝. 8、应用根与系数的关系求字母系数的值或范围 利用一元二次方程根与系数的关系求待定字母的值时，务必注意根与系数的关系的应用前提条件，即Δ≥0. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 求一元二次方程的解集 考点二 方程根个数的判断及应用 考点三 直接应用根与系数的关系进行计算 考点四 应用根与系数的关系求字母系数的值或范围 考点一 求一元二次方程的解集 1．（2023·高一课时练习）方程的解集是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·全国·高三专题练习）方程的解集为 ． 3．（2023秋·湖北恩施·高一校考阶段练习）解下列方程： (1)； (2). 4．（2023秋·云南·高一校联考阶段练习）已知一元二次方程的一个根为2，那么另一根为 ；的值为 ． 考点二 方程根个数的判断及应用 5．（2023秋·高一课时练习）下列一元二次方程没有实数根的是（　　） A． B． C． D． 6．（2023·高一课时练习）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是 . 7．（2023春·辽宁·高二统考学业考试）已知关于的方程有两个相等的实数根，下列选项中可以取的值是（    ）． A．4 B．2 C．0 D． 8．（2023·江苏·高一假期作业）求证：方程有两个同号且不相等实根的充要条件是. 9．（2023秋·上海松江·高一校考期中）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根. (1)求实数的取值范围； (2)若，求实数的值； (3)求使的值为整数的实数的整数值. 10．（2023秋·北京·高一北京十五中校考期中）已知：关于的方程的两个实数根分别为、. (1)求实数的取值范围； (2)当时，求的值； (3)若，求实数的值. 11．（2023秋·广东佛山·高一顺德一中校考开学考试）已知关于x的一元二次方程. (1)若上述方程无正数根，求实数k的取值范围； (2)若上述方程的两根都是正数，求实数k的取值范围； (3)若上述方程的两根恰有一个是正数，且k为整数，如果有直接写出实数k的取值，如果不存在说明理由.