2.1.1 等式的性质与方程的解5种常见考法归类-【考点通关】2023-2024学年高一数学高频考点与解题策略(人教B版2019必修第一册)

2.1.1 等式的性质与方程的解5种常见考法归类 1、等式的性质 (1)等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍成立； (2)等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立． 注：用符号语言和量词表示上述等式的性质： (1)如果a＝b，则对任意c，都有a＋c＝b＋c； (2)如果a＝b，则对任意不为零的c，都有ac＝bc. 2、恒等式 一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等． 注：常见的代数恒等式 （1）， （2） （3）， （4）， 3、方程的有关概念 方程 含有未知数的等式叫方程． 方程的解(或根) 能使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解． 方程的解集 把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集． 解方程 求方程的解的过程叫解方程． 4、一元一次方程 一元一次方程 方程两边都是整式，都只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫一元一次方程． 满足的条件 ①必须是整式方程； ②只含有一个未知数； ③未知数的次数都是1. 表示形式 ax＋b＝0(a≠0)或ax＝b(a≠0). 5、等式的性质 (1)等式的性质是等式的变形依据．在运用性质1时，必须是在等式的两边同时加上(或减去)“同一个数”或“同一个代数式”，不要漏掉等号的任何一边． (2)恒等式成立的条件是等号两端式子中对应项的系数相等，这也是我们根据恒等式求值的依据．　 6、十字相乘法 对于ax2＋bx＋c，将二次项的系数a分解成a1·a2，常数项c分解成c1·c2，并且把a1，a2，c1，c2排列如图：，按斜线交叉相乘，再相加，就得到a1c2＋a2c1，如果它正好等于ax2＋bx＋c的一次项系数b，那么ax2＋bx＋c就可以分解成(a1x＋c1)(a2x＋c2)，其中a1，c1位于上图中上一行，a2，c2位于下一行． 注：(1)运用x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)进行因式分解时需满足的条件：①分解因式的多项式是二次三项式；②二次项系数是1，常数项可以分解为两个数的积，且一次项系数是这两个数的和． (2)对于x2＋Cx＋D的因式分解，当常数项是正数时，可以分解成两个同号的数的积，符号与一次项系数的符号相同；当常数项是负数时，可以分解成两个异号的数的积，绝对值大的因数的符号与一次项系数的符号相同． 7、用“十字相乘法”分解因式的步骤 (1)先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角； (2)然后分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角； (3)再交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数； (4)写出最终结果． 8、利用恒等式化简的步骤 （1）先看各项有无公因式，有公因式的先提取公因式； （2）提公因式后，看多项式的项数 ①若多项式为两项，则考虑用平方差公式分解； ②若多项式为三项，则考虑用完全平方公式因式分解； ③若多项式为四项或四项以上，就考虑综合运用上面的方法。 （3）若上述方法都不能分解，则考虑把多项式重新整理、变形，再按照上面步骤进行。 9、解一元一次方程的策略 解一元一次方程时，有些变形的步骤可能用不到，要根据方程的形式灵活安排求解步骤．(1)在分子或分母中有小数时，可以化小数为整数．注意根据分数的基本性质，分子，分母必须同时扩大同样的倍数．(2)当有多层括号时，应按一定的顺序去括号，注意括号外的系数及符号． 10、用因式分解法解一元二次方程的步骤 (1)将方程右边化为0； (2)将方程的左边分解为两个一次因式的积； (3)令每个因式等于0，得两个一元一次方程，再求解． 注：①用因式分解法解一元二次方程，经常会遇到方程两边含有相同因式的情况，此时不能将其约去，而应该移项将方程右边化为零，再提取公因式，若约去则会使方程失根；②对于较复杂的一元二次方程，应灵活根据方程的特点分解因式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 等式的性质与应用 考点二 恒等式的化简 考点三 因式分解 考点四 一元一次方程的解集 考点五 因式分解法解一元二次方程 考点一 等式的性质与应用 1．（2023秋·上海浦东新·高一校考阶段练习）设，下列命题中为假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（2023·全国·高三专题练习）已知，则下列比例式成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（2023秋·山东德州·高一校考阶段练习）已知等式，则下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2023秋·全国·高一专题练习）下列