检测卷(四)-【优化探究】2025年高一数学暑假高效作业（新教材，北师大版）

检测卷(四) 一、单项选择题 １．已知复数z＝(１＋x)＋i(i为虚数单位,x∈ R)在复平面内对应的点在第二象限,那么x 的取值范围是 (　　) A．(－∞,－１)　　　　B．(－１,０) C．(－∞,０) D．(０,１) ２．已知复数z满足z(２＋i)＝|３＋４i|(其中i为 虚数单位),则复数z的共轭复数为 (　　) A．１＋２i B．１－２i C．２＋i D．２－i ３．已知复平面中O是原点,向量OA→,OB→对应的 复数分别为２－３i,－３＋２i,那么向量BA→对 应的复数是 (　　) A．－５＋５i B．５－５i C．５＋５i D．－５－５i ４．如果复数２＋bii (b∈R)的实部与虚部相等,那 么b＝ (　　) A．－２ B．１ C．２ D．４ 二、多项选择题 ５．已知i为虚数单位,z􀅰 ２１－i＝１－i ,则关于复 数z的说法正确的是 (　　) A．|z|＝１ B．复平面内z对应的点在第三象限 C．z的虚部为－i D．z＋z＝０ 确的是 (　　 ６．已知复数z＝a＋ ３i在复平面内对应的点 位于第二象限,且|z|＝２,则下列结论正 ) A．z３＝８ B．z的虚部为 ３ C．z的共轭复数为１＋ ３i D．z２＝４ ７．下列命题正确的是 (　　) A．复数z１,z２ 的模相等,则z１,z２ 是共轭 复数 B．z１,z２ 都是复数,若z１＋z２ 是虚数,则z１ 不是z２ 的共轭复数 C．复数z是实数的充要条件是z＝z(z是z 的共轭复数) D．已知复数z１＝－１＋２i,z２＝１－i,z３＝３－ ２i(i是虚数单位),它们对应的点分别为 A,B,C,O 为坐标原点,若OC→＝xOA→＋y OB→(x,y∈R),则x＋y＝１ 三、填空题 ８．若(z＋１)(１＋i)＝i,则z＝　　　　． ９．若复数２a＋i１－i 为纯虚数(i为虚数单位),则实 数a的值为　　　　． １０．设２i ３ １＋i＝a＋bi (其中i为虚数单位,a,b∈ R),则a＝　　　　,b＝　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４３􀅰 四、解答题 １１．复数z１ 对应的点在第一象限,且z２１＝－３＋ ４i,复数z２＝(a－４sin２θ)＋(１＋２cosθ)i,θ ∈(０,π),a∈R． (１)求复数z１; (２)若z１ ３ ５＋ ４ ５i æ è ç ö ø ÷＝z２,求θ,a的值． １２．设z１ 是虚数,z２＝z１＋ １ z１ 是实数,且－１≤ z２≤１． (１)求|z１|的值以及z１ 的实部的取值范围; (２)若ω＝ １－z１ １＋z１ ,求证:ω为纯虚数; (３)在(２)的条件下,求z２－ω２ 的最小值． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５３􀅰 ６．B　设z＝a＋bi,(a,b不能同时为０), 则z＋１z＝a＋bi＋ １ a＋bi＝a＋bi＋ a－bi a２＋b２ ＝ a＋ aa２＋b２( ) ＋ b－ ba２＋b２( )i． 又|z|＝１,等价于 a２＋b２＝１,即a２＋b２＝１． 若z＋１z∈R ,则b＝ b a２＋b２ ,解得b＝０或a２＋b２＝１,不一定 满足a２＋b２＝１,故充分性不成立; 若|z|＝１,即a２＋b２＝１,则一定有b＝ b a２＋b２ ,即z＋１z ∈R , 故必要性成立． 综上,“z＋１z∈R ”是“|z|＝１”的必要不充分条件． ７．解析:因为OA→＋OC→＝OB→,所以４＋ai＋(a＋bi)＝６＋８i．因为 a,b∈R,所以 ４＋a＝６, a＋b＝８,{ 解得 a＝２, b＝