高效作业(十一) 同角三角函数的基本关系-【优化探究】2025年高一数学暑假高效作业（新教材，北师大版）

高效作业(十一)　同角三角函数的基本关系 １．平方关系 (１)公式:　　　　　　． (２)语言叙述:同一个角α的正弦、余弦的平 方和等于１． ２．商数关系 (１)公式:　　　　　　 α≠kπ＋π２ ,k∈Z æ è ç ö ø ÷． (２)语言叙述:同一个角α的正弦、余弦的商等 于角α的正切． 一、选择题 １．若sinα＝m,cosα＝ ３m,则 (　　) A．m∈[－１,１] B．m∈ － ３３ ,３ ３ é ë êê ù û úú C．m＝１４ D．m＝±１２ ２．已 知 tanα＝ －１２ ,则１＋２sinαcosα sin２α－cos２α 的 值是 (　　) A．１３　　　　　　　B．３ C．－１３ D．－３ ３．已知sinα－cosα＝－ ５２ ,则tanα＋ １tanα 的 值为 (　　) A．－４ B．４ C．－８ D．８ ４．已知θ是第三象限角,且sin４θ＋cos４θ＝５９ , 则sinθcosθ的值为 (　　) A．２３ B．－ ２ ３ C．１３ D．－ １ ３ ５．已 知 A 为 锐 角,lg(１＋sin A)＝m, lg １１－sinA＝n ,则lg(cosA)的值为 (　　) A．m＋１n B．１２ (m－n) C．１２ m＋ １ n æ è ç ö ø ÷ D．１２ m－ １ n æ è ç ö ø ÷ ６．tanx＋ １tanx æ è ç ö ø ÷􀅰sin２x＝ (　　) A．sinx B．cosx C．tanx D．sinxcosx 二、填空题 ７．已知sinα＝４５ ,且α为第二象限角,则tanα 的值为　　　　． ８．已知向量a＝(３,４),b＝(sinα,cosα),且a∥b, 则tanα＝　　　　． ９．１－２sin２cos２＝　　　　． １０．已知sinα,cosα是方程２x２－x－m＝０的 两根,则m＝　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５２􀅰 三、解答题 １１．已知２cos２α＋３cosαsinα－３sin２α＝１,α∈ －３π２ ,－π æ è ç ö ø ÷．求: (１)tanα; (２)４sinα＋６cosα２sinα＋９cosα． １２．已知α是第二象限角, (１)若cosα＝－３４ ,求sinα和tanα的值; (２)化简:１－cos２ π２－α æ è ç ö ø ÷􀅰tanα． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １２．解析:(１)设OM→＝ma＋nb(m,n∈R),由A,D,M 三点共线, 可知存在α(α∈R,且α≠－１)使得AM→＝αMD→, 则OM→－OA→＝α(OD→－OM→),又OD→＝１２OB →, 所以OM→＝ １１＋αa＋ α ２(１＋α)b , 所以 m＝ １１＋α , n＝ α２(１＋α) , ì î í ï ï ïï 所以m＋２n＝１①, 由B,C,M 三点共线, 可知存在β(β∈R,且β≠－１)使得CM →＝βMB→, 则OM→－OC→＝β(OB→－OM→),又OC→＝１３OA →, 所以OM→＝ １３(１＋β)a＋ β １＋β b, 所以 m＝ １３(１＋β) , n＝ β１＋β , ì î í ï ï ïï 所以３m＋n＝１②, 由①②得m＝１５ ,n＝２５ ,故OM→＝１５a＋ ２ ５b． (２)能得出一般结论:不论 E,F 在线段AC,BD 上如何变 动,等式１ λ＋ ２ μ ＝５恒成立． 理由:由于E,M,F 三点共线, 则存在实数γ(γ∈R,且γ≠－１),使得EM→＝γMF→, 于是OM→＝OE →＋γOF→ １＋γ , 又OE→＝λOA→,OF→＝μOB→, 所以OM→＝λOA