检测卷(二)-【优化探究】2025年高一数学暑假高效作业（新教材，北师大版）

检测卷(二) 一、单项选择题 １．已知向量m＝(３,－２),３m＋n＝(－１,４),则 |n|＝ (　　) A．１０ ２　　　　　　B．１０ C．４ ５ D．４ ２．已知向量a＝(１,１),b＝(１,a),其中a为实数, O为原点,当两向量夹角在 ０,π１２ æ è ç ö ø ÷内变动时,a 的取值范围是 (　　) A．(０,１) B． ３ ３ ,３ æ è ç ö ø ÷ C． ３ ３ ,１ æ è ç ö ø ÷∪(１,３) D．(１,３) ３．已知△ABC的外接圆圆心为O,∠A＝π６ ,若 AO→＝xAB→＋yAC →(x,y∈R),则x＋y的最 大值为 (　　) A．４＋２ ３ B．４－２ ３ C．３２ D． ６ ４ ４．在△ABC 中,D 是BC 的中点,H 是AD 的 中点,过点 H 作一直线MN 分别与边AB, AC交于M,N,若AM→＝xAB→,AN→＝yAC →, 则x＋４y的最小值是 (　　) A．５２ B． ７ ３ C．９４ D． １ ４ 二、多项选择题 ５．下列命题是假命题的为 (　　) A．若a∥b,b∥c,则a∥c B．与非零向量a共线的单位向量是a|a| C．两个非零向量a,b,若|a－b|＝|a|＋|b|, 则a与b共线且反向 D．若a∥b,则存在唯一实数λ,使得a＝λb ６．在△ABC中,D,E,F 分别是边BC,AC,AB 的中点,下列说法正确的是 (　　) A．AB→＋AC→－AD→＝０ B．DA→＋EB→＋FC→＝０ C．若 AB→ |AB→| ＋ AC→ |AC→| ＝ ３AD→ |AD→| ,则BD→是BA→在 BC→的投影向量 D．若点P 是线段AD 上的动点,且满足BP→ ＝λBA→＋μBC →,则λμ的最大值为 １ ８ 三、填空题 ７．在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为 a,b,c．若a＝２,b＋c＝７,cosB＝－１４ ,则b＝ 　　　　． ８．已知向量a,b满足,|a|＝１,|b|＝ ２,a⊥(a －b),则a与b夹角的大小是　　　　． ９．在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为 a,b,c．若c＝ ２b,cosB＝ ２cosC,a＝ ３,则 S△ABC＝　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３２􀅰 １０．在 △ABC 中,AB＝４,AC＝３,∠BAC＝ ９０°,D 在边BC 上,延长AD 到P,使得AP ＝９,若PA→＝mPB→＋ ３２－m æ è ç ö ø ÷PC→(m 为常 数),则CD 的长度是　　　　． 四、解答题 １１．已知向量a＝(２,０),b＝(１,４)． (１)若向量ka＋b与a＋２b垂直,求k的值; (２)若向量ka＋b与a＋２b的夹角为锐角, 求k的取值范围; (３)求a＋b和２a－b夹角的余弦值． １２．如图所示,在△ABO 中,OC→ ＝１３OA →,OD→ ＝１２OB →,AD 与BC 相交于点M．设OA→＝a,OB→＝b． (１)试用向量a,b表示OM→; (２)在线段AC 上取点E,在线段BD 上取 点F,使EF 过点 M．设OE→＝λOA→,OF→＝ μOB →,其中λ,μ∈R．当EF 与AD 重合时,λ ＝１,μ＝ １ ２ ,此时１ λ＋ ２ μ ＝５;当EF 与BC 重 合时,λ＝１３ ,μ＝１,此时 １ λ＋ ２ μ ＝５,能否由 此得出一般结论:不论E,F在线段AC,BD 上如何变动,等式１ λ＋ ２ μ ＝５恒成立? 请说 明理由． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４２􀅰 为直角或钝角