高效作业(十) 平面向量的应用-【优化探究】2025年高一数学暑假高效作业（新教材，北师大版）

高效作业(十)　平面向量的应用 １．用向量法解决平面几何问题的步骤 (１)建立平面几何与向量的联系,用向量表示 问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转 化为　　　　　问题． (２)通过　　　　　,研究几何元素之间的关 系,如距离、夹角等问题． (３)把运算结果“　　　　　”成几何关系． ２．向量在平面几何中常见的应用 (１)证明线段平行或点共线问题,以及相似问 题,常用向量共线定理:a∥b⇒a＝λb⇔x１y２ －x２y１＝０(b≠０)． (２)证明线段垂直问题,如证明四边形是矩 形、正方形,判断两直线(或线段)是否垂直 等,常用向量垂直的条件:a⊥b⇔a􀅰b＝０⇔ 　　　　＝０． (３)求夹角问题,利用夹角公式: cosθ＝ a 􀅰b |a||b|＝　　　　 (θ为a 与b 的 夹角)． (４)求线段的长度或证明线段相等,可以用向量 的模:|a|＝ a２＝ x２＋y２或|AB|＝|AB →| ＝ (x１－x２)２＋(y１－y２)２． ３．正弦定理和余弦定理 定 理 正弦定理 余弦定理 内 容 a sinA＝ b sinB＝ c sinC＝ ２R(其 中 R 是 △ABC 外接圆的半径) a２ ＝b２ ＋c２ － ２bccosA; b２＝　　　　　; c２＝　　　　　 续表 定 理 正弦定理 余弦定理 变 形 形 式 a＝２RsinA,b＝　　R 　 　,c＝ 　 　R 　 　　; sinA＝a２R ;sinB＝b２R ; sinC＝c２R ; a∶b∶c＝　　　　　; asinB＝bsinA,bsinC ＝csin B,asin C ＝ csinA; a＋b＋c sinA＋sinB＋sinC ＝２R cosA＝b ２＋c２－a２ ２bc ; cosB＝a ２＋c２－b２ ２ac ; cosC＝a ２＋b２－c２ ２ab 一、选择题 １．已知两个力F１＝(４,２),F２＝(－２,３)作用于 平面内某静止物体的同一点上,为使该物体 仍保持静止,还需给该物体同一点上再加上 一个力F３,则F３＝ (　　) A．(－２,－５) B．(２,５) C．(－５,－２) D．(５,２) ２．在△ABC中,“AB→􀅰BC→＜０”是“△ABC为锐 角三角形”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ３．已知圆O 中,弦PQ 满足PQ→􀅰PO→＝１,则圆 O半径的最小值为 (　　) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１２􀅰 A．２２ B． １ ２ C．１ D．２ ４．(多选题)锐 角 △ABC 中,三 个 内 角 分 别 是A,B,C,且 A＞B,则下列说法正确的 是 (　　) A．sinA＞sinB B．cosA＜cosB C．sinA＞cosB D．sinB＜cosA ５．在 △ABC 中,AB →􀅰BC→ ５ ＝ BC→􀅰CA→ ４ ＝ CA→􀅰AB→ ３ ,则a∶b∶c＝ (　　) A．９∶７∶８ B．９∶ ７∶ ８ C．６∶８∶７ D．６∶ ８∶ ７ ６．点O是△ABC 所在平面内的一点,满足OA→ 􀅰OB→ ＝OB→ 􀅰OC→ ＝OC→ 􀅰OA→,则 点 O 是 △ABC的 (　　) A．三条内角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条高的交点 二、填空题 ７．在四边形ABCD 中,若AC→＝(１,２),BD→＝(－４, ２),则向量AC→与BD→的夹角为　　　　,四边形 ABCD 的面积为　　　　． ８．在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a, b,c,a＝x,b＝２,B＝４５°．若△ABC 有两解, 则x的取值范围是　　　　． ９．在 △ABC 中,AB→ 􀅰BC→ ＝３,其 面 积 S∈ ３ ２ ,３ ３ ２ é ë êê ù û úú,则AB →与BC→夹角的取值范围为 　　　　． １０．在 △ABC 中,A ＝ ６０°,a ＝ ３,则 a＋b＋c sinA＋sinB＋sinC＝　　　　． 三、解答题 １１．如图所示,一条河的两岸平 行,河的宽度d＝５００m,一 艘船从A 点出发航行到河 对岸,船航行速度的大小为