高效作业(九) 平面向量基本定理及坐标表示-【优化探究】2025年高一数学暑假高效作业（新教材，北师大版）

􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 高效作业(九)　平面向量基本定理及坐标表示 １．平面向量基本定理:如果e１,e２ 是同一平面 内的两个　　　　　向量,那么对于这一平 面内的　　　　　向量a,　　　　　　　　 实数λ１,λ２,使a＝λ１e１＋λ２e２． ２．基底:若e１,e２ 不共线,我们把{e１,e２}叫作表 示这一平面内　　　向量的一个基底． ３．平面向量的坐标表示 (１)在平面直角坐标系中,设与x 轴、y轴方 向相同的两个单位向量i,j,取{i,j}作为基 底,对于平面内的任意一个向量a,由平面向 量基本定理知,有且只有一对实数x,y,使得 a＝xi＋yj,这样,平面内的任一向量a都可 由　　　唯一确定,因此把有序数对　　　 叫作向量a的坐标,记作a＝(x,y),其中x 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８１􀅰 叫作a 在x 轴上的坐标,y叫作a 在y 轴上 的坐标． (２)若A(x１,y１),B(x２,y２),则AB → ＝　　　 　　． ４．平面向量线性运算的坐标表示 (１)若a＝(x１,y１),b＝(x２,y２),则a±b＝(x１± x２,y１±y２)． (２)若a＝(x,y),则λa＝　　　　　． (３)设A(x１,y１),B(x２,y２),则|AB → |＝　　 　　　． ５．平面向量共线的坐标表示 若a＝(x１,y１),b＝(x２,y２),则a∥b⇔　　 　　　． ６．平面向量数量积的有关结论 设非零向量a＝(x１,y１),b＝(x２,y２),a与b 的夹角为θ． 则a􀅰b＝　　　　　． (１)若a＝(x,y),则|a|２＝　　　　　或|a| ＝　　　　　． 若表示向量a的有向线段的起点和终点的坐 标分别为(x１,y１),(x２,y２),则a＝(　　　 　　,　　　　　),|a|＝　　　　　　　　． (２)a⊥b⇔　　　　　． (３)cosθ＝ a 􀅰b |a||b|＝ x１x２＋y１y２ x２１＋y２１ x２２＋y２２ ． 一、选择题 １．(多选题)下面几种说法中正确的有 (　　) A．相等向量的坐标相同 B．平面上一个向量对应于平面上唯一的 坐标 C．一个坐标对应于唯一的一个向量 D．平面上一个点与以原点为始点、该点为终 点的向量一一对应 ２．已知OA→＝(cos１５°,sin１５°),OB→＝(cos７５°, sin７５°),则|AB→|＝ (　　) A．２ B．３ C．２ D．１ ３．若a＝(２,３),b＝(－４,７),b方向上的单位向 量为e,则a在b上的投影向量为 (　　) A．６５５e B．６５e C．１３５e D．１３e ４．若{e１,e２}是平面内的一组基底,则下列四组 向量能作为平面向量的基底的是 (　　) A．{e１－e２,e２－e１} B．２e１－e２,e１－ １ ２e２{ } C．{２e２－３e１,６e１－４e２} D．{e１＋e２,e１－e２} ５．如图所示,|OA→|＝|OB→|＝１,|OC→|＝ ３, ∠AOB＝６０°,OB→ ⊥OC→,设OC→ ＝xOA→ ＋ yOB →,则 (　　) A．x＝－２,y＝－１ B．x＝－２,y＝１ C．x＝２,y＝－１ D．x＝２,y＝１ ６．已知集合 M＝{a|a＝(１,２)＋λ１(３,４),λ１∈ R},N＝{a|a＝(－２,－２)＋λ２(４,５),λ２∈ R},则M∩N 等于 (　　) A．{(１,１)} B．{(１,１),(－２,－２)} C．{(－２,－２)} D．⌀ 二、填空题 ７．已知O是坐标原点,点A在第二象限,|OA→|＝ ６,∠xOA＝１５０°,向量OA→的坐标为　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 �