高效作业(七) 向量共线定理-【优化探究】2025年高一数学暑假高效作业（新教材，北师大版）

高效作业(七)　向量共线定理 １．共线向量定理 向量a(a≠０)与b共线,当且仅当有唯一一 个实数λ,使　　　　　． ２．共线向量定理的推论 若向量a与b 不共线,且存在实数λ,μ满足 λa＝μb,则λ＝　　　　,μ＝　　　　． ３．与非零向量a共线的单位向量是　　　　． 一、选择题 １．已知P,A,B,C是平面内四点,且PA→＋PB→＋PC→ ＝AC→,则下列向量一定共线的是 (　　) A．PC→与PB→ B．PA→与PB→ C．PA→与PC→ D．PC→与AB→ ２．(多选题)已知e１,e２ 是不共线的向量,下列 向量a,b共线的有 (　　) A．a＝e１,b＝－２e２ B．a＝e１－３e２,b＝－２e１＋６e２ C．a＝３e１－ ３ ４e２ ,b＝２e１－ １ ２e２ D．a＝e１＋e２,b＝e１－３e２ ３．已知向量a,b是两个非零向量,在下列四个 条件中,一定可以使a,b共线的是 (　　) ①２a－３b＝４e且a＋２b＝－２e;②存在相异 实数λ,μ,使λa－μb＝０;③xa＋yb＝０(其中 实数x,y 满足x＋y＝０);④已知梯形ABＧ CD,其中AB→＝a,CD→＝b． A．①② B．①③ C．②④ D．③④ ４．已知A,B,C 是平面上不共线的三点,O 是 △ABC的重心,动点P满足OP→＝１３ １ ２OA →＋ æ è ç １ ２OB →＋２OC→ ö ø ÷,则点P一定为 (　　) A．AB 边中线的中点 B．AB 边中线的三等分点(非重心) C．BC边中线的中点 D．AB 边的中点 ５．在△ABC中,O为其内部一点,且满足OA→＋ OC→＋３OB→＝０,则△AOB 和△AOC 的面积 比是 (　　) A．３∶４ B．３∶２ C．１∶１ D．１∶３ ６．O是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线 的 三 个 点,动 点 P 满 足OP→ ＝ OA→ ＋ λ AB→ |AB→| ＋ AC → |AC→| æ è ç ö ø ÷,λ∈[０,＋∞),则点P 的轨 迹一定通过△ABC的 (　　) A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 二、填空题 ７．已知e是单位向量,且a＝e,b＝－２e,则|２a－３b| ＝　　　　;若a＝xb,则x＝　　　　． ８．设向量a,b不平行,向量λa＋２b与a＋３b平 行,则实数λ＝　　　　． ９．如图,在平行四边形ABCD 中,F是BC 边的 中点,AF交BD 于点E,若BE→＝λED→,则λ＝ 　　　　． １０．已知点P 是△ABC 所在平面内的一点,若 AP→＝１４AB →＋１２AC →,则S△APC S△APB ＝　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５１􀅰 三、解答题 １１．已知非零向量e１,e２ 不共线． (１)如果AB→＝e１＋e２,BC →＝２e１＋８e２,CD →＝ ３(e１－e２),求证:A,B,D 三点共线; (２)欲使４ke１＋e２ 和e１＋ke２ 共线,试确定 实数k的值． １２．如图,设G 为△ABC 的重心,过G 的直线l 分别交AB,AC 于点P,Q,若AP→＝mAB→, AQ→＝nAC→,求证:１m＋ １ n＝３． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 (２)由图可知, |AC→|＝ ３２|AD →|＝ ３２×２０＝１０ ３(m/min)＝ ３ ３ ５ (km/h), 故经过３小时,该船的实际航程是３×３ ３５ ＝ ９ ３ ５ (km)． １２．解析:因为BM→＝ １３BC →＝ １６BA →＝ １６ (OA →－OB→)＝ １６ (a－ b), 所以OM→＝O