专题01 空间向量及其运算-【学霸满分】2023-2024学年高二数学上学期重难点专题提优训练（人教B版2019选择性必修第一册）

专题01 空间向量及其运算 目录 一、 知识点归纳 1 二、 题型归纳 3  【题型一】空间向量的有关概念 3  【题型二】空间向量的线性运算 4  【题型三】空间向量的数量积 5  【题型四】空间向量共线 7  【题型五】空间向量共面 8  【题型六】空间向量基本定理 8 1、 知识点归纳 1．空间向量 （1）定义：在空间，我们把具有 和 的量叫做空间向量． （2）长度：空间向量的 叫做空间向量的长度或 ． 2．几类特殊向量 特殊向量 定义 零向量 长度为 的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为 的向量叫做单位向量 相反向量 与长度 而方向 的向量叫做的相反向量，记为 共线向量或平行向量 若表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相 或 ，那么这些向量叫做共线向量或平行向量； 规定：零向量与任意向量 ．即对任意向量，都有 相等向量 方向 且模 的向量 3．空间向量的线性运算 空间向量的线性运算 加法 减法 数乘运算 当时， 当时， 当时， 运算律 交换律 结合律 ， 分配律 4．空间向量的夹角 图示 定义 已知两个非零向量，，在空间任取一点O，作，，则 叫做向量，的夹角，记作 范围 通常规定： ； 当 时，与垂直，记作 5．空间向量的数量积 （1）定义：已知两个非零向量，，则 叫做，的数量积，记作．即 ． 【微提醒】零向量与任意向量的数量积为0． （2）运算律 数乘向量与数量积的结合律 （λ）·＝λ（·），λ∈R 交换律 ·＝· 分配律 ·（＋）＝·＋· 6．空间向量共面的充要条件 （1）共面向量：平行于 的向量，叫做共面向量． （2）空间向量共面的充要条件：向量与不共线向量，共面的充要条件是存在 的有序实数对，使 ． 2、 题型归纳 · 【题型一】空间向量的有关概念 1．下列命题为真命题的是（　　） A．若空间向量，满足，则 B．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有＝ C．若空间向量，，满足，，则 D．空间中，，，则 2．下列命题正确的是（    ） A．空间中所有的单位向量都相等 B．若，则 C．若，满足，且，同向，则 D．对于任意向量，，必有 3．（多选题）下列说法中，正确的是（　　） A．在正方体ABCD­-A1B1C1D1中，＝ B．＝的充要条件是A与C重合，B与D重合 C．若＝－，则，互为相反向量 D．若，互为相反向量，则＝－ 4．已知正方体的中心为，则在下列各结论中正确的共有（　　） ①与是一对相反向量； ②与是一对相反向量； ③与是一对相反向量； ④与是一对相反向量． A．个 B．个 C．个 D．个 5．下列四个命题中为真命题的是（    ） A．已知，，，，是空间任意五点，则 B．若两个非零向量与满足，则四边形是菱形 C．若分别表示两个空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量可以是共面向量 D．对于空间的任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面 · 【题型二】空间向量的线性运算 6．在正四面体中，，，，为中点，为靠近的三等分点，用向量，，表示（    ） A． B． C． D． 7．已知矩形为平面外一点，平面，点满足，．若，则（    ） A． B．1 C． D． 8．半正多面体又称“阿基米德多面体”，它是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.把正四面体的每条棱三等分，截去顶角所在的小正四面体，得到一个有八个面的半正多面体，如图，点P，A，B，C，D为该半正多面体的顶点，若，，，则（    ）    A． B． C． D． 9．若为空间不同的四点，则下列各式不一定为零向量的是（  ） A． B． C． D． 10．如图，平行六面体中，，，与交于点O，则下列说法正确的有（    ）    A．平面平面 B．若，则平行六面体的体积 C． D．若，则 · 【题型三】空间向量的数量积 11．已知空间中非零向量，，且，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 12．设正四面体的棱长为，，分别是，的中点，则的值为（