重难点突破09 导数与三角函数-2024年新高考数学一轮复习之题型归纳与重难专题突破提升（新高考专用）

重难点突破09 导数与三角函数 1．已知函数，证明： （1）在区间存在唯一极大值点； （2）有且仅有2个零点． 2．已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）如果对于任意的，总成立，求实数的取值范围． 3．已知函数，其中，是自然对数的底数． （1）当时，证明：对，，； （2）若函数在上存在极值，求实数的取值范围． 4．已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）如果对于任意的，，恒成立，求实数的取值范围． 5．已知函数（其中为自然对数的底数），是函数的导函数． （1）求函数的单调区间； （2）设，如果对于任意的，恒成立，求实数的取值范围． 6．已知函数，为的导数．证明： （1）在区间存在唯一极大值点； （2）有且仅有2个零点． 7．已知定义在，上的函数，为自然对数的底数． （1）当时，证明：； （2）若在上存在极值，求实数的取值范围； （3）在（1）的条件下，若恒成立，求实数的取值范围． 8．已知是函数的导函数． （1）求不等式的解集； （2）如果对于任意的，，总成立，求实数的取值范围． 9．已知函数． （1）求函数的最小值； （2）若函数在上有两个零点，，且，求证：． 10．已知函数． （1）证明：函数在上单调递增； （2）若，，求的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点突破09 导数与三角函数 1．已知函数，证明： （1）在区间存在唯一极大值点； （2）有且仅有2个零点． 【解答】证明：（1）函数，， ， 令，， ，函数在上单调递减， 又当时，，而， 存在唯一，使得， 当时，，即，函数单调递增；当，时，，即，函数单调递减， 函数在区间存在唯一极大值点； （2）由（1）可知，函数在上单调递增，在，上单调递减， 是函数的极大值点，且， ， 又当时，；， 在区间内存在一个零点，在区间，上存在一个零点， 当时，设，则， 在上单调递减，， ①当时，，当时，，无零点， ②时，，又，当时，，无零点， 当时，，函数在区间内无零点， 函数有且仅有2个零点． 2．已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）如果对于任意的，总成立，求实数的取值范围． 【解答】解：（1）由于， 所以， 当，即时，； 当，即时，． 所以的单调递增区间为， 单调递减区间为； （2）令， 要使总成立，只需时， 对求导，可得， 令， 则， 所以在上为增函数， 所以； 对分类讨论： ①当时，恒成立， 所以在上为增函数， 所以， 即恒成立； ②当时，在上有实根， 因为在上为增函数， 所以当时，， 所以，不符合题意； ③当时，恒成立， 所以在上为减函数， 则，不符合题意． 综上，可得实数的取值范围是，． 3．已知函数，其中，是自然对数的底数． （1）当时，证明：对，，； （2）若函数在上存在极值，求实数的取值范围． 【解答】（1）证明：当时，，， 当，时，，且， 所以当，时，，且时，， 函数在，上单调递增，， 所以，对，，． （2）解：若函数在上存在极值， 则在上存在零点． ①当时，为上的增函数， ， 则存在唯一实数，使得成立， 当时，，为上的减函数； 当时，，为上的增函数， 所以为函数的极小值点； ②当时，在上恒成立， 函数在上单调递增，在上无极值； ③当时，在上恒成立， 函数在上单调递減，在上无极值． 综上知，使在上存在极值的的取值范围是． 4．已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）如果对于任意的，，恒成立，求实数的取值范围． 【解答】解：（1）由于， 所以， 当，，即，，时，； 当，，即，，时，． 所以的单调递增区间为，，， 单调递减区间为，，； （2）令， 要使总成立，只需，时， 对求导，可得， 令， 则， 所以在，上为减函数， 所以，； 对分类讨论： ①当时，恒成立， 所以在，上为增函数， 所以， 即，故成立； ②当时，在上有实根， 因为在，上为减函数， 所以当，时，， 所以，不符合题意； ③当时，恒成立， 所以在，上为减函数， 则， 由，可得， 即有． 综上，可得实数的取值范围是，． 5．已知函数（其中为自然对数的底数），是函数的导函数． （1）求函数的单调区间； （2）设，如果对于任意的，恒成立，求实数的取值范围． 【解答】解：（1）, 令,即,解得：, 令,即,解得：, 故在,递增，在,递减． , 故对于任意的，恒成立， 等价于恒成立， 即,令, 则, 由（1）的结论知在,上为增函数， ,, ①当,即时，恒成立， 故在,上递增，即,符合题意， ②当即时，恒成立， 故在,递减，即,不合题意， ③当时，存在,使得, 当时，,在递减， 当,时，,在,递增， 故,不合题意， 综上：实数的取值范围是，． 6．已知函数，为的导数．证明： （1）在区间存在唯一极大值点； （2）有且仅有2个零点． 【解答