重难点突破08 极值点偏移-2024年新高考数学一轮复习之题型归纳与重难专题突破提升（新高考专用）

重难点突破08 极值点偏移 极值点偏移问题的解法 (1)(对称化构造法)构造辅助函数:对结论型,构造函数;对结论型,构造函数,通过研究的单调性获得不等式. (2)(比值代换法)通过代数变形将所证的欢变量不等式通过代换化为单变量的函数不等式,利用函数单调性证明. 1．已知函数，函数在处的切线斜率为． （1）求函数的单调减区间； （2）若函数的图象与直线交于不同的两点，，，，求证：． 2．已知函数，为常数，且． （1）判断的单调性； （2）当时，如果存在两个不同的正实数，且，证明：． 3．已知函数． （Ⅰ）讨论函数的单调性： （Ⅱ）若，是方程的两不等实根，求证： ； ． 4．已知函数． （1）若为的导函数），求函数的单调区间； （2）求函数在区间，上的最大值； （3）若函数有两个极值点，，求证：． 5．已知函数． （1）求曲线在点，（1）处的切线方程； （2）若对于，都有，求实数的取值范围； （3）若的函数图象与交于不同的两点，，，，证明：． 6．已知函数，． （1）若，为的导函数），求函数在区间，上的最大值； （2）若函数有两个极值点，，求证：． 7．已知函数． （1）求函数的极值； （2）若直线与函数的图象有两个不同交点，，，，求证：． 8．设函数． （1）当有极值时，若存在，使得成立，求实数的取值范围； （2）当时，若在定义域内存在两实数，满足，且，证明：． 9．已知函数． （1）求函数的单调区间和极值； （2）若函数对任意满足，求证：当，； （3）若，且，求证：． 10．已知函数 （Ⅰ）求函数的单调区间及极值； （Ⅱ）求证：当时，； （Ⅲ）如果，且，求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点突破08 极值点偏移 极值点偏移问题的解法 (1)(对称化构造法)构造辅助函数:对结论型,构造函数;对结论型,构造函数,通过研究的单调性获得不等式. (2)(比值代换法)通过代数变形将所证的欢变量不等式通过代换化为单变量的函数不等式,利用函数单调性证明. 1．已知函数，函数在处的切线斜率为． （1）求函数的单调减区间； （2）若函数的图象与直线交于不同的两点，，，，求证：． 【解答】解：（1）函数的定义域为，，，，又，故， ，则， 令，解得，，， 故函数的减区间为，； （2）证明：因为函数的图象与直线交于不同的两点，，，，设， 则，则，故， 令，则， ， 要证，只要证， 由于，只要证， 设，，则， 设，则， 函数在上单调递减，则（1）， 又，故， 函数在上单调递增，则（1），即，即得证． 2．已知函数，为常数，且． （1）判断的单调性； （2）当时，如果存在两个不同的正实数，且，证明：． 【解答】解：（1）因为， 所以，， 设， △，即时，恒成立， 所以在上恒成立， 所以在上单调递增， △，即时，方程有两个不等的实数根，且， ， 所以任意，，，单调递增， 任意，，，，单调递减， 任意，，，，单调递增， 综上所述，当时，在上单调递增， 当时，在，，上单调递增，在，上单调递减． （2）证明：因为（1）， 所以（1）， 由（1）可得时，在上单调递增， 不妨设， 要证，即证， 所以， 所以， 所以， 设，， ， 所以时，，单调递增， 所以（1）（1）， 所以． 3．已知函数． （Ⅰ）讨论函数的单调性： （Ⅱ）若，是方程的两不等实根，求证： ； ． 【解答】解：（Ⅰ）， 当时，，在上单调递增， 当时，令得， 令得， 所以在上单调递增，在，上单调递减， 综上所述，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在，上单调递减． （Ⅱ）证明：因为，是方程的两个不等实数根，即，是方程的两个不等实数根， 令，则，，即，是方程的两个不等实数根， 令， 则， 令得， 所以在上，单调递增， 在上，单调递减， （e）， 当时，；当时，且， 所以，即， 令， 要证明，只需证明， 设，， 则，， 令， 则， 所以在上单调递增，（e）， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以得证． 要证，只需证， 只需证， 只需证， 只需证， 因为， 令得， 即①， 令得， 即②， ①②得， 所以，得证． 4．已知函数． （1）若为的导函数），求函数的单调区间； （2）求函数在区间，上的最大值； （3）若函数有两个极值点，，求证：． 【解答】解：（1）函数的定义域为， ， ， 当时，在上恒成立，单调递增， 当时，令得， 所以在上，单调递减， 在，上，单调递增， 综上所述，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在，上单调递增． （2）当时，在，上是增函数，最大值为（e）， 当，即时，在，是减函数，最大值为（1）， 当，即时，在是增函数，在，是减函数，最大值为， 当，即时，在，是增函数，最大值为（e）， 综上所述，当时，最大值为