重难点突破07 零点与隐零点问题-2024年新高考数学一轮复习之题型归纳与重难专题突破提升（新高考专用）

重难点突破06 零点与隐零点问题 导数问题中遇到隐零点问题的解决方法 第一步：利用特殊点处的函数值、零点存在定理、函数的单调性、函数的图象等，判断零点是否存在以及取值范围； 第二步：把导数零点处导数值等于0作为条件带回原函数，进行化简或消参 1．（2022春•昭通月考）设函数，曲线在点，处切线的斜率为1，为的导函数． （1）求； （2）证明：在，上存在唯一的极大值点． 2．（2023春•阜阳期末）已知函数． （1）讨论的单调性； （2）令，若不等式恒成立，求的最小值． 3．（2023春•河池期末）已知函数． （1）求函数的最小值； （2）求证：． 4．（2023•东莞市校级三模）已知函数． （1）证明：； （2）证明：函数在上有唯一零点，且． 5．（2023春•咸阳期末）已知函数． （1）求曲线在点，（1）处的切线方程； （2）记，若当时，恒成立，求正实数的取值范围． 6．（2021春•雨花区校级月考）已知函数，，． （1）当时，讨论函数的零点个数； （2）记函数的最小值为，求的最小值． 7．（2023•葫芦岛二模）已知函数，且． （1）求； （2）证明：存在唯一的极大值点，且． 8．（2020秋•开福区校级期末）已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）当时，，记函数在上的最大值为，证明：． 9．（2021春•河南月考）已知函数． （1）求的极值； （2）若在，上的最大值为，求证：； 10．（2018•呼和浩特一模）已知二次函数． （1）讨论函数的单调性； （2）设函数，记为函数极大值点，求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点突破06 零点与隐零点问题 导数问题中遇到隐零点问题的解决方法 第一步：利用特殊点处的函数值、零点存在定理、函数的单调性、函数的图象等，判断零点是否存在以及取值范围； 第二步：把导数零点处导数值等于0作为条件带回原函数，进行化简或消参 1．（2022春•昭通月考）设函数，曲线在点，处切线的斜率为1，为的导函数． （1）求； （2）证明：在，上存在唯一的极大值点． 【解答】解：（1）， 由题意得，， 即； （2）证明：令，则， 所以且， 当，时，，单调递增，当，时，，单调递减， 又，，， 由零点存在定理可知，在，上存在唯一的，使得， 当时，，当，时，， 所以即在，上存在唯一的极值点． 2．（2023春•阜阳期末）已知函数． （1）讨论的单调性； （2）令，若不等式恒成立，求的最小值． 【解答】解：（1）已知，函数定义域为， 可得， 不妨设，函数定义域为， 可得， 所以单调递增，即单调递增， 又， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 综上，函数在上单调递减，在，上单调递增； （2）若，函数定义域为， 可得， 不妨设，函数定义域为， 可得， 所以在单调递增，即上单调递增， 又， ， 所以存在，，使得，① 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 要使不等式恒成立， 需满足，② 联立①②，解得， 由①式知，， 解得， 则的最小值为． 3．（2023春•河池期末）已知函数． （1）求函数的最小值； （2）求证：． 【解答】（1）解：，， 设，， 在上为单调递增函数， （1），（1），当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 时，取得最小值，（1）； （2）证明：要证，只需证， 即证，令，则， 当时，令，则，在上单调递增， 即在上为增函数， 又， 存在，使得， 由， 得，即，即， 当时，，单调递减， 当，时，，单调递增， ， 令， 则， 在上单调递增，， ，， 即． 4．（2023•东莞市校级三模）已知函数． （1）证明：； （2）证明：函数在上有唯一零点，且． 【解答】证明：（1）令，求导得，， 即函数在上单调递增，由，得，由，得， 因此函数在上单调递减，在上单调递增，， ． （2）由，求导得， ，即函数在上单调递减， 又， 由零点存在性定理知，存在唯一实数，使得， 则当，，单调递增，单调递减，而，则， 且在恒成立，又， 因此存在唯一，使得， 下面证明，由知，即， 则只需证，即证， 由（1）知：，只需证：， 令，而， 故只需证，其中， 令， 则，函数在上单调递增， 因此，即时，， ． 5．（2023春•咸阳期末）已知函数． （1）求曲线在点，（1）处的切线方程； （2）记，若当时，恒成立，求正实数的取值范围． 【解答】解：（1）由，得， ，又（1）， 曲线在点，（1）处的切线方程为， 即； （2）， ， ， ， 令，改函数在上单调递增，可得． 当时，，则， 在上单调递增，有， 在上单调递减，则， 符合题意； 当时，存在实数，使，时，， 即，在，上单调递减， ，则在，上单调递增， ，时，，可知不符合题意． 综上所属，正实数的取值范围为，． 6．（2