拓展专题02 练透直线与圆中对称问题的14大题型（期中专项训练·冲刺版）高二数学上学期人教A版

拓展专题02练透直线与圆中对称问题的14大题型 题型1 点关于点对称 题型8 曲线关于点、直线的对称 题型2 点关于直线对称（常考点） 题型9 光的反射问题（重点） 题型3 直线关于点对称（常考点） 题型10 对称点的存在性问题 题型4 直线关于直线对称（常考点） 题型11 利用对称求距离之和的最值（难点） 题型5 圆关于点对称（重点） 题型12 利用对称求距离之差的最值（难点） 题型6 圆关于直线对称（重点） 题型13 对称性的实际应用 题型7 圆的自对称性（重点） 题型14 与对称性有关的新定义题（难点） 【重要方法及结论】 1．点关于点的对称 求点P关于点A(a,b)的对称点P'的问题，主要依据A是线段PP′的中点来求解. 设P(x0,y0)，对称中心为A(a,b)，则P关于A的对称点为P'(2a-x0,2b-y0). 2．直线关于点的对称 求直线l关于点A(a,b)对称的直线l'的步骤： (1)由平行直线系设出直线l'的方程； (2)在l上任取一点P(x,y)，求P关于A的对称点P'(2a-x,2b-y)； (3)将P'的坐标代入直线l'的方程，求出参数，得到l'的方程. 3．两点关于某直线对称 设点A(x0,y0)关于直线l的对称点为B(x,y). (1)直线l的斜率不存在时，设直线l：x=t，则. (2)直线l的斜率为0时，设直线l：y=t，则. (3)直线l的斜率存在且不为0时，设点A(x0,y0)关于直线l：Ax+By+C=0的对称点为B(x,y). 则，由此可求出B(x,y). (4)几种特殊位置的对称： 点 对称轴 对称点坐标 P(a,b) x轴 (a,-b) y轴 (-a,b) y=x (b,a) y=-x (-b,-a) x=m(m≠0) (2m-a,b) y=n(n≠0) (a,2n-b) 4．直线关于直线对称 (1)若已知直线l₁与对称轴l相交于点P，则交点P必在l₁关于l对称的直线l2上，再求出l₁上除点P外 任意一个已知点P₁关于l对称的点P2，那么经过交点P及点P2的直线就是l2. (2)若已知直线l₁与对称轴l平行，则l₁关于l对称的直线l2到直线l的距离和l₁到直线l的距离相等，由平行直线系和对称点即可求出l₁关于l对称的直线l2. 5.与圆有关的对称问题 (1)若两圆关于某点对称，则这两圆的圆心关于该点对称，半径相等； (2)若两圆关于某直线对称，则这两圆的圆心关于该直线对称，半径相等； (3)任意一个圆关于它的任一条直径所在直线对称； (4)任意两个圆关于它们的连心线所在直线对称; (5)任意两个等圆关于它们连心线的垂直平分线对称. 题型一 点关于点对称(共2小题) 1．（24-25高二上·北京·期中）点与点的对称中心是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·辽宁鞍山·阶段练习）点关于点的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 题型二点关于直线对称（共4小题）（重点） 3．（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）点关于直线对称的点的坐标为__________． 4．（24-25高二上·广东·期中）若点和点关于直线对称，则 ． 5．（2027高三·全国·专题练习）若，点关于直线的对称点在直线上，那么的最小值等于________． 6．（24-25高二上·广东广州·期中）已知点关于直线的对称点为，经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为 . 题型三 直线关于点对称(共3小题)（常考点） 7．（26-27高二上·江苏淮安·阶段检测）直线关于点对称的直线方程为（  ） A． B．. C． D． 8．（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数（　　） A．2 B．1 C． D． 9．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知直线关于对称的直线与圆相离，则（    ） A． B． C． D．或 题型四 直线关于直线对称（共4小题）（常考点） 10．（26-27高二上·湖南邵阳·阶段检测）与直线l：关于直线m：对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 11．（26-27高二上·河南·阶段检测）已知直线：，：，若与关于直线对称，则（    ） A．， B．， C．， D．， 12．（24-25高二上·四川凉山·期末）设点，若直线关于轴对称的直线与圆相切，则的值为（   ） A． B．0 C． D．1 13．（24-25高二上·广东佛山·期中）已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，所在直线方程为.求 (1)点的坐标； (2)直线关于直线对称的直线方程. 题型五 圆关于点对称(共3小题)（重点） 14．（2024高二·广东·期中）圆关于原点对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 15．（24-25高二上·广东深圳·期中）若存在点，使得圆与圆关于点对称，则（    ） A．1 B． C．2 D． 16．圆关于点对称的圆的方程是 . 题型六 圆关于直线对称(共3小题）（重点） 17．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知圆：，则圆关于直线：对称的圆的方程（    ） A． B． C． D． 18．（2025·广东汕头·一模）如果圆与圆关于直线l对称，则直线l的方程为（   ） A． B． C．或 D． 19．若圆与圆关于直线对称，则直线的方程为 . 题型七 圆的自对称性(共5小题)（重点） 20．（25-26高三下·江苏扬州·开学考试）若直线是圆的一条对称轴，则实数的值为（    ）. A． B．1 C． D． 21．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知圆：（）关于直线对称，圆：，则圆与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 22．（25-26高三下·云南楚雄·开学考试）已知圆：关于直线：对称，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 23．(多选)（25-26高三上·浙江绍兴·期末）在平面直角坐标系中，已知圆C：，则（   ） A．直线是圆C的切线 B．直线是圆C的对称轴 C．圆C与直线（）恒有公共点 D．圆C与圆M：关于直线对称 24．（24-25高二下·四川德阳·期末）已知圆：关于直线对称，则圆上任意一点到原点的距离的最小值为__________．（请用数字作答） 题型八 曲线关于点、直线的对称（共3小题） 25．（24-25高二上·上海·阶段练习）以原点为中心，对角线在坐标轴上，边长为1的正方形的四条边的方程为（    ）． A． B． C． D． 26．（23-24高三下·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知函数的图象上有且仅有两个不同的点关于直线的对称点在的图象上，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 27．（24-25高二上·广东广州·阶段检测）已知曲线，则下列结论中错误的是(    ). A．曲线与直线无公共点 B．曲线与圆有三个公共点 C．曲线关于直线对称 D．曲线上的点到直线的最大距离是 题型九 光的反射问题(共4小题)（重点） 28．（26-27高二上·四川成都·阶段检测）光线沿着直线射到直线上，经反射后沿着直线射出，则有（　　　） A． B． C． D． 29．（26-27高二上·山西太原·阶段检测）我国汉代初年成书的《淮南万毕术》中记载：“取大镜高悬，置水盆于下，则见四邻矣．”这是我国古代人民利用平面镜反射原理的首个实例，体现了传统文化中的数学智慧．已知从点发出的一束光线，经直线反射后，反射光线恰好平分圆：的圆周，则反射光线所在的直线方程为（     ） A． B． C． D． 30．（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经、边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（     ）    A．10 B． C． D．8 31．（2025高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知射线，，半圆，现从点向轴上方区域的某方向发射一束光线，光线沿直线传播，但遇到射线时会发生镜面反射．设光线在发生反射前所在直线的斜率为，若光线始终与半圆没有交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型十 对称点的存在性问题(共3小题) 32．已知直线，若圆上存在两点关于直线对称，则的值为（    ） A． B． C． D．5 33．已知直线，圆，若圆C上存在两点关于直线l对称，则的最小值是（    ） A．5 B． C． D．20 34．（23-24高二上·安徽·期末）已知圆：及圆：，若存在点P，使得，关于点P对称，则，的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．外切 D．内切 题型十一 利用对称求距离之和的最值（共3小题）（难点） 35．（26-27高二上·江西宜春·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知点，点为直线上一动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 36．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知点是坐标原点，点是圆上的动点，点是直线上的一个动点，则的最小值为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 37．（24-25高二上·广东深圳·期中）已知点是坐标原点，点是圆上的动点，当动点在直线上运动时，的最小值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 题型十二 利用对称求距离之差的最值（共3小题）（难点） 38．（26-27高二上·江苏宿迁·阶段检测）已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为，则顶点的坐标_____________，若为直线：上的动点，则取最大值时的点的坐标为_____________. 39．（24-25高二上·广东清远·期中）已知点P在直线上，点，则的最小值为 40．（25-26高二上·河南驻马店·阶段练习）已知直线和点． (1)在直线l上求一点P，使的值最小； (2)在直线l上求一点P，使的值最大； (3)若点B的坐标变为，再分别求（1），（2）问中的结果． 题型十三 对称性的实际应用(共3小题)（难点） 41．（24-25高二上·广西南宁·期中）唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B． C． D． 42．（24-25高一上·全国·课后作业）剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品都体现了数学中的对称美，如图所示的剪纸是一幅中心对称图形，以中心对称点为坐标原点将其放入平面直角坐标系中，若图中点坐标为，其关于轴对称的点的坐标为，其关于坐标原点对称的点的坐标为，则 ． 43．（26-27高二上·江西南昌·阶段检测）某圆拱形桥一孔圆拱的示意图如图所示．圆拱跨度，拱高，建造时每间隔需要用一根支柱支撑，则支柱的高度约为________．（参考数据：取） 题型14 与对称性有关的新定义题(共3小题)（难点） 44．（多选）（2025·陕西延安·模拟预测）在平面直角坐标系中，定义原点的“相伴点”是原点，当不是原点时，的“相伴点”为．平面曲线上所有点的“相伴点”所构成的曲线定义为曲线的“相伴曲线”，则下列说法正确的是（   ） A．若的坐标为，则的“相伴点”的坐标为 B．若不在直线上的点的“相伴点”是点，则直线与直线关于直线对称 C．若曲线是以原点为圆心的圆，则其“相伴曲线”也是圆 D．若曲线是一条直线，则曲线的“相伴曲线”也是一条直线 45．（多选）（24-25高二上·河北唐山·阶段检测）数学著作《圆锥曲线论》中给出了圆的一种定义：平面内，到两个定点，距离之比是常数（，且）的点的轨迹是圆．若两定点，，动点满足，则下列说法正确的是（    ） A．点的轨迹围成区域的面积为 B．点的轨迹关于直线对称 C．点到原点的距离的最大值为6 D．面积的最大值为 46.（25-26高二上·江苏南京·阶段练习）已知平面直角坐标系内的直线与直线，过平面内一点向直线，作垂线，垂足分别为，，记，，定义点的“距离坐标”为． (1)当时，求点的轨迹方程； (2)若点的“距离坐标”为，求点的坐标； (3)已知一束光线从轴上一点出发，经由直线上一点反射后，再经直线上的点反射，最终回到出发点．若点在线段上，求点的“距离坐标”． 2 / 24zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 拓展专题02练透直线与圆中对称问题的14大题型 题型1 点关于点对称 题型8 曲线关于点、直线的对称 题型2 点关于直线对称（常考点） 题型9 光的反射问题（重点） 题型3 直线关于点对称（常考点） 题型10 对称点的存在性问题 题型4 直线关于直线对称（常考点） 题型11 利用对称求距离之和的最值（难点） 题型5 圆关于点对称（重点） 题型12 利用对称求距离之差的最值（难点） 题型6 圆关于直线对称（重点） 题型13 对称性的实际应用 题型7 圆的自对称性（重点） 题型14 与对称性有关的新定义题（难点） 【重要方法及结论】 1．点关于点的对称 求点P关于点A(a,b)的对称点P'的问题，主要依据A是线段PP′的中点来求解. 设P(x0,y0)，对称中心为A(a,b)，则P关于A的对称点为P'(2a-x0,2b-y0). 2．直线关于点的对称 求直线l关于点A(a,b)对称的直线l'的步骤： (1)由平行直线系设出直线l'的方程； (2)在l上任取一点P(x,y)，求P关于A的对称点P'(2a-x,2b-y)； (3)将P'的坐标代入直线l'的方程，求出参数，得到l'的方程. 3．两点关于某直线对称 设点A(x0,y0)关于直线l的对称点为B(x,y). (1)直线l的斜率不存在时，设直线l：x=t，则. (2)直线l的斜率为0时，设直线l：y=t，则. (3)直线l的斜率存在且不为0时，设点A(x0,y0)关于直线l：Ax+By+C=0的对称点为B(x,y). 则，由此可求出B(x,y). (4)几种特殊位置的对称： 点 对称轴 对称点坐标 P(a,b) x轴 (a,-b) y轴 (-a,b) y=x (b,a) y=-x (-b,-a) x=m(m≠0) (2m-a,b) y=n(n≠0) (a,2n-b) 4．直线关于直线对称 (1)若已知直线l₁与对称轴l相交于点P，则交点P必在l₁关于l对称的直线l2上，再求出l₁上除点P外 任意一个已知点P₁关于l对称的点P2，那么经过交点P及点P2的直线就是l2. (2)若已知直线l₁与对称轴l平行，则l₁关于l对称的直线l2到直线l的距离和l₁到直线l的距离相等，由平行直线系和对称点即可求出l₁关于l对称的直线l2. 5.与圆有关的对称问题 (1)若两圆关于某点对称，则这两圆的圆心关于该点对称，半径相等； (2)若两圆关于某直线对称，则这两圆的圆心关于该直线对称，半径相等； (3)任意一个圆关于它的任一条直径所在直线对称； (4)任意两个圆关于它们的连心线所在直线对称; (5)任意两个等圆关于它们连心线的垂直平分线对称. 题型一 点关于点对称(共2小题) 1．（24-25高二上·北京·期中）点与点的对称中心是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由中点的坐标公式求解即可. 【详解】点与点的对称中心是的中点， 所以对称中心的坐标为， 故选：C 2．（24-25高二上·辽宁鞍山·阶段练习）点关于点的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中点坐标公式求解即可. 【详解】设点坐标为， 则由题意可得，解得， 所以点坐标为, 故选：B 题型二点关于直线对称（共4小题）（重点） 3．（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）点关于直线对称的点的坐标为__________． 【答案】 【详解】设点关于直线对称的点的坐标为，已知直线的斜率为， 两条互相垂直的直线斜率乘积为，所以，即， 因为两点的中点在直线上，所以，即， 联立，解得，即坐标为. 4．（24-25高二上·广东·期中）若点和点关于直线对称，则 ． 【答案】 【详解】因为点和点关于直线对称， 所以是线段的垂直平分线，由，可得，解得. 又AB的中点坐标为，，所以，解得， .故. 故答案为：. 5．（2027高三·全国·专题练习）若，点关于直线的对称点在直线上，那么的最小值等于________． 【答案】 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得， 所以点关于直线的对称点为． 依题意可知，即． 于是，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为． 6．（24-25高二上·广东广州·期中）已知点关于直线的对称点为，经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用对称求出点，然后根据点的坐标得到，最后根据倾斜角与斜率的变化关系得到范围. 【详解】设点，有，解得，，所以， ，，结合图可知，. 故答案为：. 题型三 直线关于点对称(共3小题)（常考点） 7．（26-27高二上·江苏淮安·阶段检测）直线关于点对称的直线方程为（  ） A． B．. C． D． 【答案】A 【分析】设直线关于点对称的直线任一点为，根据点对称代入即可求解. 【详解】设直线上任一点关于点对称的直线任一点为， 可得，解得， 因为在直线上，代入即可得， 化简得的，即对称直线方程为. 8．（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数（　　） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到直线与直线平行，从而得到，再根据直线上取一点，得到关于点的对称点，代入直线即可得到答案. 【详解】因为不在直线上， 且直线与直线关于点对称， 所以直线与直线平行， 即，解得. 在直线上取一点， 关于点的对称点为, 将代入直线，解得. 故选：C 9．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知直线关于对称的直线与圆相离，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】由条件求出直线，然后根据直线与圆的位置关系及表示圆的条件列出不等式求解. 【详解】设直线上任一点为，则其关于的对称点在直线上， ∴，且， ∴，即， ∴直线， ∵圆，即， ∴圆心，半径，且， ∴圆心到直线的距离， ∵直线与圆相离， ∴，即，又，解得. 故选：C. 题型四 直线关于直线对称（共4小题）（常考点） 10．（26-27高二上·湖南邵阳·阶段检测）与直线l：关于直线m：对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】联立直线与方程可得，解得，所以两直线交点为， 在直线上任取一点，设该点关于直线的对称点为，则根据对称点的性质可得， ，且点与点的中点在直线上，即， 解得，即对称点，所以对称直线的斜率， 则对称直线的方程为，即. 11．（26-27高二上·河南·阶段检测）已知直线：，：，若与关于直线对称，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据直线关于的对称性求出直线的对称方程，对比求解即可. 【详解】直线关于直线对称的直线方程为. 由题意得，，解得，. 12．（24-25高二上·四川凉山·期末）设点，若直线关于轴对称的直线与圆相切，则的值为（   ） A． B．0 C． D．1 【答案】A 【分析】根据对称求解直线的方程，即可根据相切关系，结合点到直线的距离公式求解. 【详解】由可得，故直线关于轴对称的直线斜率为，且经过点，故直线方程为， 圆的圆心和半径分别为， 由相切可得，解得， 故选：A 13．（24-25高二上·广东佛山·期中）已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，所在直线方程为.求 (1)点的坐标； (2)直线关于直线对称的直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据中线和均过点，可联立方程求得点坐标； （2）利用点关于直线对称点的求法可求得点关于直线对称的点，由此可得直线方程，即为所求对称直线方程. 【详解】（1）由得：，即. （2）设关于直线对称的点，则，解得：， ，则直线方程为，即， 即直线关于直线对称的直线方程为：. 题型五 圆关于点对称(共3小题)（重点） 14．（2024高二·广东·期中）圆关于原点对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为所求圆的圆心与圆的圆心关于原点对称， 所以所求圆的圆心为，半径为，故所求圆的方程为. 故选：B. 15．（24-25高二上·广东深圳·期中）若存在点，使得圆与圆关于点对称，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】由题意，两圆半径相等， 所以，解得， 故选：A 16．圆关于点对称的圆的方程是 . 【答案】 【分析】先将圆，化为标准方程得到圆心，再求圆心关于点的对称点，即为所求的圆的圆心. 【详解】圆，化为标准方程：， 设关于点对称的圆的圆心为， 则，解得， 所以圆关于点对称的圆的方程是： ， 题型六 圆关于直线对称(共3小题）（重点） 17．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知圆：，则圆关于直线：对称的圆的方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆：的圆心为，半径. 设关于直线：的对称点为. 由，所以. 所以圆关于直线：对称的圆的方程为. 18．（2025·广东汕头·一模）如果圆与圆关于直线l对称，则直线l的方程为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【详解】圆圆心为，圆可化为，所以圆心为， 由题意可得直线l的方程为以两圆圆心、为端点的线段的中垂线方程， 设， 由两直线垂直斜率关系可得直线l的为1， 又两圆中点坐标为，所以直线l的方程为，即. 故选：D. 19．若圆与圆关于直线对称，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】由题意，得出直线是两圆圆心的对称轴，依次求得的中点坐标和斜率,即可由点斜式方程写出直线的方程. 【详解】依题意，直线是两圆圆心的对称轴. 由可得，由可得， 则的中点为，因，故直线的斜率为， 故直线的方程为：，即. 题型七 圆的自对称性(共5小题)（重点） 20．（25-26高三下·江苏扬州·开学考试）若直线是圆的一条对称轴，则实数的值为（    ）. A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】由题意得圆心为，而直线是圆的一条对称轴， 则在直线上，可得，解得. 21．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知圆：（）关于直线对称，圆：，则圆与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 【答案】B 【详解】圆 的圆心为 ． 因为圆 关于直线 对称，所以圆心在该直线上，故解得 ． 所以即 故圆 的圆心为 ，半径 ； 圆 的圆心为 ，半径 ． 两圆圆心距 又 ，因此 ，所以圆 与圆 外切． 22．（25-26高三下·云南楚雄·开学考试）已知圆：关于直线：对称，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】求出圆心坐标，进而求出，的关系，再利用基本不等式中“1”的妙用求解作答. 【详解】因为圆：关于直线：对称， 所以直线过圆心，即，因为，， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立，所以的最小值是2． 故选：B． 23．(多选)（25-26高三上·浙江绍兴·期末）在平面直角坐标系中，已知圆C：，则（   ） A．直线是圆C的切线 B．直线是圆C的对称轴 C．圆C与直线（）恒有公共点 D．圆C与圆M：关于直线对称 【答案】BC 【分析】根据圆的几何性质，逐一判断各选项的真假. 【详解】由题干可知圆的基本信息：圆心，半径； 选项A：计算直线到圆的距离，，，直线与圆相交，不是切线，选项A错误； 选项B：圆的对称轴是过圆心的直线，将圆心代入直线方程中，得，故圆心在直线上，因此该直线是圆的对称轴，选项B正确； 选项C：直线可以化为，则圆心到该直线的距离为， 要判断是否恒有公共点，只需要判断是否对任意的成立，，两边平方后整理可得，由于对任意实数恒成立，因此恒成立，选项C正确； 选项D：圆的圆心为，半径为，点关于直线的对称点为，因此两圆圆心不关于对称，则两圆也不关于对称，选项D错误. 故选：BC 24．（24-25高二下·四川德阳·期末）已知圆：关于直线对称，则圆上任意一点到原点的距离的最小值为__________．（请用数字作答） 【答案】 【详解】由题意得，点在直线上， 因为原点到直线的距离为， 则圆心到原点的距离的最小值为， 则圆上任意一点到原点的距离的最小值为 题型八 曲线关于点、直线的对称（共3小题） 25．（24-25高二上·上海·阶段练习）以原点为中心，对角线在坐标轴上，边长为1的正方形的四条边的方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题设分析知，方程所得图形关于原点、轴对称且点在图形上，即可得. 【详解】由题设，方程所得图形关于原点、轴对称， 若在图形上，则、、均在图形上， 显然、满足，、不满足， 又图形是对角线在坐标轴上，边长为1的正方形， 所以，点在图形上，故方程为. 故选：D 26．（23-24高三下·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知函数的图象上有且仅有两个不同的点关于直线的对称点在的图象上，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将题设转化为的图象和的图象有两个交点，求出直线和相切时的值以及直线过点时的值，结合图象即可求解. 【详解】关于直线的对称直线为， 则题设等价于函数的图象和的图象有两个交点． 令等价于， 设直线和相切， 由，解得或（舍）， 又当直线过点时，解得， 所以k的取值范围是. 故选：A． 27．（24-25高二上·广东广州·阶段检测）已知曲线，则下列结论中错误的是(    ). A．曲线与直线无公共点 B．曲线与圆有三个公共点 C．曲线关于直线对称 D．曲线上的点到直线的最大距离是 【答案】D 【详解】对于A选项，联立，将代入，得， 所以曲线与直线无公共点，A选项正确； 下面分析曲线的图象： 曲线，当时，曲线方程可化为； 当时，曲线方程可化为，不符合； 当时，曲线方程可化为； 当时，曲线方程可化为. 由此画出曲线的图象如下图所示： 对于B选项，圆的圆心为，半径是， 与圆弧(）的圆心距为，所以圆与圆相内切，切点为. 结合图象可知曲线与圆有三个公共点，B选项正确； 对于C选项，点满足直线对称的对称点是， 将点代入得，整理得， 所以曲线关于直线对称，C选项正确； 对于D选项，由图可知，曲线上的点到直线的最大距离是， 即圆弧()的半径，所以D选项错误. 故选：D. 题型九 光的反射问题(共4小题)（重点） 28．（26-27高二上·四川成都·阶段检测）光线沿着直线射到直线上，经反射后沿着直线射出，则有（　　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据光的反射性质可知，直线与直线关于直线对称. 入射光线必经过点，则过该点且垂直于的直线方程为， 联立方程可求得交点为，由中点的坐标公式可知，点是线段的中点，其中点， 则反射光线所在的直线必经过点，求得； 同理反射光线必经过，则过该点垂直于的直线方程为， 联立方程可求得交点为，由中点的坐标公式可知，点是线段的中点，其中点， 则入射光线所在的直线必经过点，求得 29．（26-27高二上·山西太原·阶段检测）我国汉代初年成书的《淮南万毕术》中记载：“取大镜高悬，置水盆于下，则见四邻矣．”这是我国古代人民利用平面镜反射原理的首个实例，体现了传统文化中的数学智慧．已知从点发出的一束光线，经直线反射后，反射光线恰好平分圆：的圆周，则反射光线所在的直线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，可得圆心， 设点关于直线的对称点的坐标为， 则，解得，即对称点坐标为， 又反射光线恰好平分圆：的圆周，所以反射光线过， 由直线的两点式方程可得反射光线所在直线方程为，即． 30．（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经、边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（     ）    A．10 B． C． D．8 【答案】B 【详解】设，，，则重心即， 设， 光线反射路径可展开为直线：关于：的对称点；关于：的对称点， 展开后，，，共线，且光线经过重心，因此，，三点共线， 即，，由共线得，解得或. 因为异于端点，所以，即. 则周长. 31．（2025高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知射线，，半圆，现从点向轴上方区域的某方向发射一束光线，光线沿直线传播，但遇到射线时会发生镜面反射．设光线在发生反射前所在直线的斜率为，若光线始终与半圆没有交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设反射前光线所在直线方程为，分四种情况讨论，即①当光线不发生反射时；②当光线只发生一次反射时，；③当光线发生两次反射时，④当光线发生三次反射时，利用几何法即圆心到直线的距离大于半径，通过分析进而求解； 【详解】由题意知半圆的圆心为，半径为1，设反射前光线所在直线方程为． ①如图：当光线不发生反射时，光线所在直线的斜率，若此时光线与半圆无交点，则半圆圆心到光线所在直线的距离，解得，即． ②当光线只发生一次反射时，反射光线不与轴非负半轴相交，由，得则反射光线所在直线方程为，即，所以，解得．令半圆圆心到反射光线所在直线的距离1，解得，又，所以此时要使光线与半圆没有交点，则． ③当光线发生两次反射时，讨论如下．当时，第一次反射后光线所在直线与轴非负半轴有交点，交点为，则第二次反射后光线所在直线方程为，所以，解得．令半圆圆心到第二次反射光线的距离，得，故此时要使光线与半圆无交点，则．当时，易知第一次反射后光线过点，第二次反射后光线所在直线方程为，与半圆没有交点．综上，． ④当光线发生三次反射时，由得则第三次反射光线所在直线方程为，即，所以，即．令半圆圆心到第三次反射光线的距离，得，故此时要使光线与半圆无交点，则． 综上，的取值范围为． 故选：A． 题型十 对称点的存在性问题(共3小题) 32．已知直线，若圆上存在两点关于直线对称，则的值为（    ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】根据题意可知圆的圆心坐标为，又圆上存在两点P，Q关于直线对称，所以直线经过圆心，将圆心坐标代入直线方程，即可求出结果. 【详解】∵圆：，∴圆的圆心坐标为， 又圆：上存在两点P，Q关于直线对称， ∴直线经过圆心， ∴，解得. 故选：A. 33．已知直线，圆，若圆C上存在两点关于直线l对称，则的最小值是（    ） A．5 B． C． D．20 【答案】D 【分析】由题意，直线l过圆心，有，则，利用配方法求最小值. 【详解】圆的圆心坐标为， 圆C上存在两点关于直线l对称，则直线l过圆心，即，有， ， 当时，有最小值20. 故选：D 34．（23-24高二上·安徽·期末）已知圆：及圆：，若存在点P，使得，关于点P对称，则，的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．外切 D．内切 【答案】C 【分析】要存在点P，使得，关于点P对称，则，的半径相等，再利用圆与圆的位置关系判断即可. 【详解】结合题意：圆的标准方程为，圆心， 圆的标准方程为，圆心， 要存在点P，使得，关于点P对称，则，的半径相等， 所以，， 此时，的半径都是， 又， 所以，外切． 故选: C. 题型十一 利用对称求距离之和的最值（共3小题）（难点） 35．（26-27高二上·江西宜春·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知点，点为直线上一动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求点关于直线的对称点的坐标，由此可得，结合结论两点之间线段最短可求的最小值. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得，所以， 所以， 当且仅当点为线段与直线的交点时等号成立， 所以的最小值是. 36．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知点是坐标原点，点是圆上的动点，点是直线上的一个动点，则的最小值为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【分析】先利用对称性将转化为（为原点关于直线的对称点），从而将问题转化为，求圆上动点到定点的最短距离，再由圆心到定点的距离减去半径即可得到最小值． 【详解】圆的方程为，圆心，半径， 原点关于直线的对称点为，设， 则：，解得，所以， 由对称性，， 所以， 当为线与直线的交点时取等号， 所以问题转化为求圆上的动点到定点距离的最小值， 因为圆心到的距离为， 所以圆上点到 的最小距离为． 所以的最小值为． 37．（24-25高二上·广东深圳·期中）已知点是坐标原点，点是圆上的动点，当动点在直线上运动时，的最小值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【分析】先求点关于直线对称的点为，结合圆的性质可得，再结合几何性质即可得结果. 【详解】设点关于直线对称的点为， 则，解得，即， 由题意可知：圆的圆心为，半径， 则， 当且仅当点在线段上时，等号成立， 又因为，当且仅当三点共线时，等号成立， 综上所述：当且仅当时，的最小值为6. 故选：C 题型十二 利用对称求距离之差的最值（共3小题）（难点） 38．（26-27高二上·江苏宿迁·阶段检测）已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为，则顶点的坐标_____________，若为直线：上的动点，则取最大值时的点的坐标为_____________. 【答案】 【分析】根据点在直线上，结合中点坐标公式与斜率关系，即可联立方程求解出顶点的坐标；求解点关于直线的对称点，结合三角形的三边关系即可求解最值，进而联立方程求解交点坐标． 【详解】设，则的中点坐标为， 因为边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为， 所以，解得，即点的坐标为； 设，因为边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为， 所以，解得，即点的坐标为； 设点关于直线的对称点为， 则，解得，即； 因为，所以当，，三点共线时，取得最大值， 所以的最大值为； 由，，可得直线的方程为，即， 由解得即当取得最大值时，点的坐标为． 39．（24-25高二上·广东清远·期中）已知点P在直线上，点，则的最小值为 【答案】 【详解】如图，设关于直线的对称点为，则， 解得，则， 于是， 结合图形知，当三点共线时，此时取得最小值， 即取得最小值为 故答案为： 40．（25-26高二上·河南驻马店·阶段练习）已知直线和点． (1)在直线l上求一点P，使的值最小； (2)在直线l上求一点P，使的值最大； (3)若点B的坐标变为，再分别求（1），（2）问中的结果． 【答案】(1)P点坐标为 (2)P点坐标为 (3)当P点坐标为时，的值最小；当P点坐标为时，的值最大 【分析】（1）求出点A关于直线l对称点坐标，根据三点共线时，的值最小，求出直线的方程，与直线l联立，即可得答案. （2）因为点A、B在直线l同侧，分析可得当三点共线时，的值最大，求得直线AB方程，与直线l联立，即可得答案. （3）若点B的坐标变为，此时A、B在直线l的两侧，当三点共线时，的值最小，求出直线AB方程，与直线l联立，即可得答案；由（1）可得点A关于直线l的对称点的坐标，分析可得当三点共线时，的值最大，求出直线的方程，与直线l联立，即可得答案. 【详解】（1）设点A关于直线l对称点为， 则，解得，即， 因为点P在直线l上运动， 所以， 当且仅当三点共线时等号成立， 此时的最小值等于， 即点P为直线与直线l的交点， 因为，， 易得直线的方程为， 联立，解得， 所以交点 （2）因为点A、B在直线l同侧，且点P是直线l上一点， 所以，当且仅当三点共线时等号成立， 此时的最大值为， 即P为直线AB与直线l的交点， 因为， 所以， 所以直线AB方程为， 联立，解得， 故所求点P的坐标为 （3）若点B的坐标变为，此时A、B在直线l的两侧，且P为直线l上一点， 所以，当且仅当三点共线时等号成立， 即点P为直线AB与直线l的交点， 因为， 所以， 所以直线AB的方程为，即， 联立，解得， 故使的值最小时，P点坐标为. 由（1）可知点A关于直线l的对称点为，且P为直线l上一点， 所以， 当且仅当三点共线时，等号成立， 此时取得最大值， 即点P为直线与直线l的交点， 因为，， 易得直线的方程为， 所以，解得， 所以交点 题型十三 对称性的实际应用(共3小题)（难点） 41．（24-25高二上·广西南宁·期中）唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出点关于直线的对称点，则所求最短总路程为. 【详解】设关于直线对称的点为， 则，解得：，即， “将军饮马”的最短总路程为. 故选：D. 42．（24-25高一上·全国·课后作业）剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品都体现了数学中的对称美，如图所示的剪纸是一幅中心对称图形，以中心对称点为坐标原点将其放入平面直角坐标系中，若图中点坐标为，其关于轴对称的点的坐标为，其关于坐标原点对称的点的坐标为，则 ． 【答案】 【分析】根据点关于坐标轴以及原点对称的点坐标，构造方程组可解得结果. 【详解】因为，其关于轴对称的点坐标为， 则，解得； 又点关于原点对称的点坐标为，所以， 解得， 则． 故选： 43．（26-27高二上·江西南昌·阶段检测）某圆拱形桥一孔圆拱的示意图如图所示．圆拱跨度，拱高，建造时每间隔需要用一根支柱支撑，则支柱的高度约为________．（参考数据：取） 【答案】3.15 【详解】以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，. 设圆心坐标是，圆的半径是，则圆的方程是. 因为，两点都在圆上，所以，解得， 则圆的方程是， 将点的横坐标代入圆的方程，得， 其中的纵坐标， 则 ， 故支柱的高度约为. 题型14 与对称性有关的新定义题(共3小题)（难点） 44．（多选）（2025·陕西延安·模拟预测）在平面直角坐标系中，定义原点的“相伴点”是原点，当不是原点时，的“相伴点”为．平面曲线上所有点的“相伴点”所构成的曲线定义为曲线的“相伴曲线”，则下列说法正确的是（   ） A．若的坐标为，则的“相伴点”的坐标为 B．若不在直线上的点的“相伴点”是点，则直线与直线关于直线对称 C．若曲线是以原点为圆心的圆，则其“相伴曲线”也是圆 D．若曲线是一条直线，则曲线的“相伴曲线”也是一条直线 【答案】ABC 【分析】根据“相伴点”的定义，即可判断A，根据直线的对称性的特点，结合“相伴点”的定义，即可判断B，首先设曲线的方程，再结合“相伴点”的定义，即可判断C，设曲线的直线方程，结合“相伴曲线”的定义，即可判断D. 【详解】A.若点的坐标是，则的“相伴点”的坐标为，即，故A正确； B.若点的坐标为不在直线上，那么点的“相伴点”，若的其中一个为0时， 不妨设，则，，直线与直线关于直线对称； 同理可得时，直线与直线也关于直线对称； 当时，直线的斜率是，直线的斜率为，所以点在直线上，所以直线与直线关于直线对称，故B正确； C.若曲线是以原点为圆心的圆，设为，设点为圆上的任一点，则点的“相伴点”，即，满足， 所以“相伴曲线”是以原点为圆心，1为半径的圆，故C正确； D.设直线的方程为，点为直线上任一点， 当点为坐标原点时，则； 当时，，则； 当时，，则； 所以直线的“相伴曲线”由三个点组成，故D错误. 故选：ABC. 45．（多选）（24-25高二上·河北唐山·阶段检测）数学著作《圆锥曲线论》中给出了圆的一种定义：平面内，到两个定点，距离之比是常数（，且）的点的轨迹是圆．若两定点，，动点满足，则下列说法正确的是（    ） A．点的轨迹围成区域的面积为 B．点的轨迹关于直线对称 C．点到原点的距离的最大值为6 D．面积的最大值为 【答案】ABD 【分析】设动点，则，，由，得动点的轨迹方程为，可得圆心坐标和半径，即可判断AB是否正确；对于D，只需，即可判断D是否正确；对于C：根据圆心到原点的距离加上半径即可求解. 【详解】设动点，则，， 由，即， 所以，所以， 所以动点的轨迹方程为， 所以点的轨迹是圆且圆心，半径为， 对于A：点的轨迹 区域面积，故A正确； 对于B，圆心在直线上，故点的轨迹关于直线对称，B正确， 对于C，,故点到原点的距离的最大值为,C错误， 对于D ， 又，所以，而，则的最大值为．D正确， 故选：ABD 46.（25-26高二上·江苏南京·阶段练习）已知平面直角坐标系内的直线与直线，过平面内一点向直线，作垂线，垂足分别为，，记，，定义点的“距离坐标”为． (1)当时，求点的轨迹方程； (2)若点的“距离坐标”为，求点的坐标； (3)已知一束光线从轴上一点出发，经由直线上一点反射后，再经直线上的点反射，最终回到出发点．若点在线段上，求点的“距离坐标”． 【答案】(1)或； (2)； (3). 【分析】（1）由，利用点M“距离坐标”的定义，结合点到直线距离公式列式求出轨迹方程. （2）设出点M的坐标，利用点M“距离坐标”的定义列出方程组求解即得. （3）设点，再求出点关于直线对称点的坐标，由光的反射定律结合向量共线的坐标表示求出，进而求出点的坐标即可得解. 【详解】（1）由，得点M到直线，的距离相等，设点， 则，即，整理得或， 所以点的轨迹方程为或． （2）设点，依题意，，解得或或或， 所以点的坐标为. （3）设点，点关于直线对称点，关于直线对称点， 当时，，解得， 点，当时，满足上式，因此点， 当时，，解得，点， 当时，满足上式，因此点，    由光的反射定律知，点共线，由点在线段上，得， 而， 因此，解得，， 直线，由，得点， 则点到直线的距离， 点到直线的距离， 所以点的“距离坐标”为. 2 / 24zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 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