专题02 导数与函数的单调性-2024年新高考数学一轮复习之题型归纳与重难专题突破提升（新高考专用）

专题02 导数与函数的单调性 目录 题型一： 函数的单调性 2 题型二： 含参数的函数的单调性 5 题型三： 函数单调性的应用——比较大小或解不等式 7 题型四： 函数单调性的应用——根据函数的单调性求参数的范围 7 题型五： 函数单调性的应用——构造函数 9 知识点总结 函数的单调性与导数的关系 一般地，函数f (x)的单调性与导函数f ′(x)的正负之间具有如下的关系：在某个区间(a，b)上，如果f ′(x)>0，那么函数y＝ f (x)在区间(a，b)上单调递增；如果f ′(x)<0，那么函数y＝ f (x)在区间(a，b)上单调递减． 利用导数判断函数f (x)单调性的步骤 第1步，确定函数的定义域； 第2步，求出导数f ′(x)的零点； 第3步，用f ′(x)的零点将f (x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f ′(x)在各个区间上的正负，由此得出函数y＝f (x)在定义域内的单调性． 【常用结论与知识拓展】 1．在某区间内，f ′(x)>0(f ′(x)<0)是函数f (x)在此区间上单调递增(减)的充分不必要条件．可导函数f (x)在(a，b)上单调递增(减)的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f ′(x)≥0(f ′(x)≤0)且f ′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零． 2．构造函数解抽象不等式 (1)对于不等式f ′(x)>k(k≠0)，构造函数g(x)＝f (x)－kx＋B． (2)对于不等式xf ′(x)＋f (x)>0，构造函数g(x)＝xf (x)；对于不等式xf ′(x)－f (x)>0，构造函数g(x)＝(x≠0)． (3)对于不等式xf ′(x)＋nf (x)>0，构造函数g(x)＝xnf (x)；对于不等式xf ′(x)－nf (x)>0，构造函数g(x)＝(x≠0)． (4)对于不等式f ′(x)＋f (x)>0，构造函数g(x)＝exf (x)；对于不等式f ′(x)－f (x)>0，构造函数g(x)＝. (5)对于不等式f ′(x)sin x＋f (x)cos x>0(或f (x)＋f ′(x)tan x>0)，构造函数g(x)＝f (x)sin x；对于不等式f ′(x)cos x－f (x)sin x>0(或f ′(x)－f (x)tan x>0)，构造函数g(x)＝f (x)cos x. 例题精讲 函数的单调性 【要点讲解】求函数单调区间的步骤 (1)确定函数f(x)的定义域. (2)求f'(x). (3)在定义域内解不等式f'(x)>0,得单调递增区间. (4)在定义域内解不等式f'(x)<0,得单调递减区间. 确定不含参数的函数的单调性,应注意一是不能漏掉求函数的定义域,二是函数的单调区间不能用并集,要用“逗号”或“和”隔开. 求下列函数的单调区间： （1）； （2）； （3）． 求下列函数的单调区间： （1）； （2）． 求下列函数的单调区间： （1）； （2）； （3）； （4）． 求下列函数的单调区间： （1）； （2）． 含参数的函数的单调性 【要点讲解】函数在某区间上的单调性的讨论 (1)在区间内f'(x)>0(或f'(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(或减)函数的充分不必要条件. (2)可导函数f(x)在(a,b)上是增(或减)函数的充要条件:∀x∈(a,b),都有f'(x)≥0(或f'(x)≤0),且f'(x)在(a,b)的任何子区间内都不恒为零. (3)由函数f(x)在(a,b)上的单调性,求参数取值范围的问题,可化为f'(x)≥0(或f'(x)≤0)恒成立的问题.要注意“=”能否取到. 研究含参数函数的单调性时,需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论. （2023春•凉山州期末）已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2023春•天祝县校级月考）已知函数． （1）当时，求函数的极值； （2）讨论的单调性． （2023春•合肥期中）设函数． （1）求的单调区间； （2023春•武功县期中）已知函数． （1）求函数的单调区间； （2023春•江宁区期末）已知函数． （1）讨论的单调性； 函数单调性的应用——比较大小或解不等式 【要点讲解】1.比较函数值大小时,若自变量不在同一单调区间内,则要利用函数的性质,将其转化到同一个单调区间上,再进行比较. 2.利用单调性比较大小或解不等式,关键是根据题意构造辅助函数,利用构造的函数的单调性比较大小或解不等式. 3.常构造的辅助函数:，，，,,等. （2023春•青岛期中）已知，，，则，，的大小关系为　　 A． B． C． D． （2023春•天祝县校级月考）已知，，，则，，的大小关系是　　 A． B． C． D． （2023春•齐齐哈尔月考）已知，，，则、、的大小关系为　　 A． B． C