专题01 导数的概念及其意义、导数的运算-2024年新高考数学一轮复习之题型归纳与重难专题突破提升（新高考专用）

专题01 导数的概念及其意义、导数的运算 目录 题型一： 导数的概念 3 题型二： 导数的运算 4 题型三： 导数的几何意义——求切线方程 6 题型四： 导数的几何意义——求切点坐标 9 题型五： 导数的几何意义——求参数的值 10 题型六： 公切线问题的求法——判断公切线的条数 11 题型七： 公切线问题的求法——求两曲线的公切线 11 题型八： 公切线问题的求法——求参数的值或范围 11 知识点总结 导数的概念及其意义 (1)导数的概念：如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f (x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f (x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f ′(x0)或y′| x＝x0，即f ′(x0)＝ ＝ . (2)导数的几何意义：函数y＝f (x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f (x)在点P(x0，f (x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f (x)在点P(x0，f (x0))处的切线的斜率是f ′(x0)．相应的切线方程为y－y0＝f ′(x0)(x－x0)． (3)导函数的概念：当x＝x0时，f ′(x0)是一个唯一确定的数，这样，当x变化时，y＝f ′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f (x)的导函数(简称导数)．y＝f (x)的导函数有时也记作y′，即f ′(x)＝y′＝ . 导数的运算 (1)基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f (x)＝c(c为常数) f ′(x)＝0 f (x)＝xα(α∈Q，且α≠0) f ′(x)＝αxα－1 f (x)＝sin x f ′(x)＝cos_x f (x)＝cos x f ′(x)＝－sin_x f (x)＝ax(a>0，且a≠1) f ′(x)＝axln_a f (x)＝ex f ′(x)＝ex f (x)＝logax(a>0，且a≠1) f ′(x)＝ f (x)＝ln x f ′(x)＝ (2)导数的四则运算法则 运算法则 和差 [f (x)±g(x)]′＝f ′(x)±g′(x) 积 [f (x)g(x)]′＝f ′(x)g(x)＋f (x)g′(x)， 特别地，[cf (x)]′＝cf ′(x) 商 ′＝ (g(x)≠0) (3)简单复合函数的导数 一般地，对于两个函数y＝f (u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f (u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f (g(x))．它的导数与函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x.即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 例题精讲 导数的概念 【要点讲解】　求函数y=f(x)在点x0处导数的步骤 (1)求函数的增量 (2)求平均变化率 (3)得导数,简记作:一差、二比、三极限. 函数y=f(x)的导数f'(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,其大小|f'(x)|反映了变化的快慢,|f'(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”. （2023春•儋州校级月考）已知函数，则　　 A．3 B．5 C．7 D．6 （2023春•民勤县校级月考）已知，则　　 A． B． C．1 D．4 （2023春•江西月考）若，则　　 A．1 B．2 C． D． （2023春•青岛期中）质点按规律做直线运动（位移单位：，时间单位：，则质点在时的瞬时速度为　　 A． B． C． D． （2023春•江西月考）已知函数，当自变量由1变到1.1时，的平均变化率为　　 A．1 B．1.1 C．2 D．2.1 （2023春•驻马店月考）已知某质点的位移与时间的关系式是，则质点在时的瞬时速度为　　 A． B． C． D． 导数的运算 【要点讲解】(1)连乘积形式:先展开化为多项式的形式,再求导. (2)分式形式:观察函数的结构特征,先化为整式函数或较为简单的分式函数,再求导. (3)对数形式:先化为和、差的形式,再求导. (4)根式形式:先化为分数指数幂的形式,再求导. (5)三角形式:先利用三角函数公式转化为和或差的形式,再求导. （2023春•天祝县校级月考）函数的导函数是　　 A． B． C． D． （2023春•青铜峡市校级期中）下列求导数运算中正确的是　　 A． B． C． D． （2023春•高新区校级月考）已知，则　　 A． B． C． D． （2023春•深圳校级月考）已知函数（2），其中是的导函数，则（2）　　 A．12 B．20 C．10 D．24 （2023春•葫芦岛月考）已知函数（1），则（1）　　 A． B．4 C． D．2 （2023春•濮阳期末）已知函数，则（2