专题03 导数与函数的极值、最值-2024年新高考数学一轮复习之题型归纳与重难专题突破提升（新高考专用）

专题03 导数与函数的极值、最值 目录 题型一： 根据函数图象判断极值 4 题型二： 求函数的极值 6 题型三： 已知极值(点)求参数 6 题型四： 利用导数求函数最值问题 8 知识点总结 函数的极值 (1)函数极值的定义：如图，函数y＝f (x)在点x＝a的函数值f (a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f ′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f ′(x)<0，右侧f ′(x)>0.类似地，函数y＝f (x)在点x＝b的函数值f (b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f ′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f ′(x)>0，右侧f ′(x)<0.我们把a叫做函数y＝f (x)的极小值点，f (a)叫做函数y＝f (x)的极小值；b叫做函数y＝f (x)的极大值点，f (b)叫做函数y＝f (x)的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值． (2)函数在某点取得极值的必要条件和充分条件：一般地，函数y＝f (x)在某一点的导数值为0是函数y＝f (x)在这点取得极值的必要条件．可导函数y＝f (x)在x＝x0处取极大(小)值的充分条件： ①f ′(x0)＝0； ②在x＝x0附近的左侧f ′(x0)>0(<0)，右侧f ′(x0)<0(>0)． (3)导数求极值的方法：解方程f ′(x)＝0，当f ′(x0)＝0时，如果在x0附近的左侧f ′(x)>0，右侧f ′(x)＜0，那么f (x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f ′(x)＜0，右侧f ′(x)>0，那么f (x0)是极小值． 注意　对于可导函数f (x)，“f ′(x0)＝0”是“函数f (x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件． 函数的最大(小)值 (1)函数最大(小)值的再认识 ①一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f (x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． ②若函数y＝f (x)在[a，b]上单调递增，则f (a)为函数在[a，b]上的最小值，f (b)为函数在[a，b]上的最大值；若函数y＝f (x)在[a，b]上单调递减，则f (a)为函数在[a，b]上的最大值，f (b)为函数在[a，b]上的最小值． (2)导数求最值的一般步骤：设函数y＝f (x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求函数y＝f (x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下： ①求函数y＝f (x)在区间(a，b)内的极值； ②将函数y＝f (x)的各极值与端点处的函数值f (a)，f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 三次函数的图象、单调性、极值 设三次函数f (x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，则f ′(x)＝3ax2＋2bx＋c，记Δ＝4b2－12ac＝4(b2－3ac)，并设x1，x2是方程f ′(x)＝0的根，且x1<x2. (1)a>0 Δ>0 Δ≤0 图象 单调性 在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递增；在(x1，x2)上单调递减 在R上是增函数 极值点个数 2 0 (2)a<0 Δ>0 Δ≤0 图象 单调性 在(x1，x2)上单调递增；在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递减 在R上是减函数 极值点个数 2 0 例题精讲 根据函数图象判断极值 【要点讲解】　由图象判断函数y=f(x)的极值要抓住的两点 (1)由y=f'(x)的图象与x轴的交点,可得函数y=f(x)的可能极值点. (2)由导函数y=f'(x)的图象可以看出y=f'(x)的值的正负,从而可得函数y=f(x)的单调性.两者结合可得极值点. （2023春•监利市期中）如图，可导函数在点，处的切线为，设，则下列说法正确的是　　 A．，是的极大值点 B．，是的极小值点 C．，不是的极值点 D．，是的极值点 （2023春•霞山区校级期中）如图是函数的导函数的图象，下列结论正确的是　　 A．是函数的极大值点 B．是函数的极值点 C．在处取得极大值 D．函数在区间上单调递增 （2023春•南岸区校级期中）如图是函数的导函数的图象，则下列说法正确的是　　 A．是函数的极小值点 B．当或时，函数的值为0 C．函数在上是增函数 D．函数在上是增函数 （2023春•华龙区校级期中）已知函数的导函数的图象大致如图所示，则关于函数，下列结论正确的是　　 A．无极大值点 B．有2个零点 C．在上单调递增 D．在上单调递减 求函数的极值 【要点讲解】　运用导数求可导函数y=f(x)的极值的一般步骤 (1)先求函数y=f(x)的定义域,再求其导数f'(x). (2)求方程f'(x)=0在f(x)定义域内的根. (3)检查导数f'(x)在方程根的左右的