精品解析：上海师范大学附属中学2022-2023学年高一下学期期末数学试题

上师大附中2022学年第二学期高一年级数学期末 2023.6 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知向量，且，则_________. 2. 已知等差数列前项和为且满足，则_________. 3. 设复数满足，则_________. 4. 函数的最大值为_________. 5. 已知数列满足，则_________. 6. 最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，根据记载，商高曾经和周公讨论过“勾股弦”的问题，我国的《九章算术》也有记载，所以，商高比毕达哥拉斯早多年发现勾股定理.现有满足“勾股弦”，其中，为弦上一点（不含端点），且满足勾股定理，则___________. 7. 已知平面向量，，满足，且，则的值为________. 8. 将复数在复平面上所对应的向量绕原点按顺时针方向旋转得到向量，那么对应的复数是_________. 9. 方程的两个实数根为，若，则实数__________. 10. 已知函数，图像上的每一点的横坐标缩短到原来的，得到的图像，的部分图像如图所示，若，则_________. 11. 若一个整数数列的首项和末项都是1，且任意相邻两项之差的绝对值不大于1，则我们称这个数列为“好数列”，例如：1，2，2，3，4，3，2，1，1是一个好数列，若一个好数列的各项之和是2021，则这个数列至少有______项. 12. 若，平面内一点满足，则的最大值为_________. 二、填空题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第题每题5分） 13. 若虚数z使得是实数，则z满足（ ） A. 实部是 B. 实部是 C. 虚部是 D. 虚部是 14. 现有命题“，，用数学归纳法去探究此命题的真假情况，下列说法正确的是（ ） A. 不能用数学归纳法判断此命题的真假 B. 此命题一定为真命题 C. 此命题加上条件后才是真命题，否则为假命题 D. 存在一个很大的常数，当时，此命题为假命题 15. 若非零不共线的向量满足，则（ ）． A. B. C. D. 16. 某游戏开始时，有红色精灵个，蓝色精灵个．游戏规则是任意点击两个精灵，若两精灵同色，则合并成一个红色精灵，若两精灵异色，则合并成一个蓝色精灵，当只剩一个精灵时，游戏结束．那么游戏结束时，剩下的精灵的颜色（ ） A. 只与奇偶性有关 B. 只与的奇偶性有关 C. 与，的奇偶性都有关 D. 与，的奇偶性都无关 三、解答题（本大题共5题） 17. 设，. （1）求函数的单调增区间； （2）设为锐角三角形，角所对边，角所对的边.若，求的面积. 18. （1）公元1545年，意大利数学家卡尔丹在其所著《重要的艺术》一书中提出“将实数10分成两部分，使其积为40”的问题，即“求方程的根”，卡尔丹求得该方程的根分别为，数系扩充后这两个根分别记为,若，求复数; （2）为了求方程的虚根，我们可以把原方程变形为，则由此可以求得原方程的一个虚根，试求的实部. 19. （1）《孙子算经》是我国南北朝时期的数学著作.在《孙子算经》中有“物不知数”问题:“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何?”意思是一个整数除以三余二、除以五余三、除以七余二，求这个整数.设这个整数为，当时，试求符合条件的的个数. （2）《九章算术》叙述了一个老鼠打洞的趣事:“今有垣厚十尺，两鼠对穿，大鼠“壮壮”日二尺，小鼠'果果'亦二尺.大鼠·壮壮'日自三分之二，小鼠‘果果'日自半.问:何日相逢?各穿几何?”意思就是说，有一堵十尺厚的墙，两只老鼠从两边向中间打洞，大老鼠“壮壮”第一天打二尺，小老鼠“果果”也是二尺.大老鼠“壮壮”每天的打洞进度是前一天的倍，小老鼠“果果”每天的进度是前一天的倍.问第300天结束时，两只老鼠“壮壮”与“果果”是否能喜相逢?请说明理由. 20. 公元263年，刘徽首创了用圆内接正多边形的面积来逼近圆面积的方法，算得值为3.14，我国称这种方法为割圆术，直到1200年后，西方人才找到了类似的方法，后人为纪念刘徽的贡献，将3.14称为徽率.我们作单位圆的外切和内接正边形，记外切正边形周长的一半为，内接正边形周长的一半为.通过计算容易得到:（其中是正边形的一条边所对圆心角的一半） （1）求通项公式; （2）求证:对于任意正整数依次成等差数列; （3）试问对任意正整数是否能构成等比数列?说明你的理由. 21. 设A是由个实数组成的m行n列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”． （1）数表A如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操