1.4.2.2 用空间向量研究夹角问题-【高效课堂】2023-2024学年高二数学同步精讲课件（人教A版2019选择性必修第一册）

1.4 空间向量的应用 1.4.2.2 用空间向量研究夹角问题 与距离类似，角度是立体几何中另一个重要的度量。下面我们用向量的方法研究直线与直线所成的角、直线与平面所成的角以及平面与平面的夹角。 角度是对两个方向差的度量 向量是有方向的量 例 如图，在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）中， ， 分别为 ，的中点． （1）求直线 与夹角的余弦值； （2）求直线 与平面所成角的正弦值. 新知探究 问题1 如何用空间向量求两条直线的夹角？ l1 两条直线l1，l2夹角的范围： l2 l1 l2 问题1 如何用空间向量求两条直线的夹角？ l1 两条直线l1，l2夹角的范围： [0°,90°] 两个向量夹角的范围： [0°,180°] l2 l1 l2 PART 1 异面直线夹角 若异面直线l1，l2所成的角为，其方向向量分别为，则 l1 l2 l1 l2 分析： 直线与夹角 例（1）求直线与夹角的余弦值； 方法1 选择空间的一个基底 方法2 建立空间直角坐标系 例（1）求直线与夹角的余弦值； 解：（1）法1：向量法 用空间向量求两条直线，夹角的步骤与方法： 例题小结1 化为向量问题 进行向量运算 回到图形问题 ①转化为求两直线，的方向 向量，的夹角 ③两条直线，夹角的余弦值 向量法 或坐标法 问题2 如何用空间向量求直线与平面的夹角？ l l l l 问题2 如何用空间向量求直线与平面的夹角？ 直线与平面夹角的范围： l l 问题2 如何用空间向量求直线与平面的夹角？ 直线与平面夹角的范围： [0°,90°] l l PART 2 直线与平面的夹角 若直线AB与平面相交于点B，设直线AB与平面所成的角为，直线AB的方向向量分别为平面的法向量 为，则 l l A B A B 例（2）求直线与平面所成角的正弦值； 直线CN与平面BCD所成的角 分析： 问：如何表示平面BCD法向量？ 方法1 选择空间的一个基底 方法2 建立空间直角坐标系 例（2）求直线与平面所成角的正弦值； 解:(2) 用空间向量求直线平面所成角的步骤和方法： 化为向量问题 进行向量运算 回到图形问题 ①转化为求直线的方向向量与平面法向量的夹角 ③直线平面所成的角的 正弦值 例题小结2 PART 3 平面与平面的夹角 平面与平面相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面与平面的夹角。 α β α β l n1 n2 α β l PART 3 平面与平面的夹角 n1 n2 α β l $