一、“将军饮马”类题型、二、全等模型-2023年中考总复习数学【易中考】（河南省）

。河南易中考 第三部分通法模型篇 一、“将军饮马”类题型 模型讲解 唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句写道：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中 隐含着一个有趣的数学问题，将军饮马问题.该问题早在古罗马时代就提出来了，一位亚历山 大城的将军每天重复着诗中类似的事情，他不知怎么走最近，就请教数学家海伦，海伦略加思 索解答了这个问题， 如图所示，诗中将军在观望烽火之后，从山脚下的A点出发，走到河边饮 马后，再到B点宿营，请问怎样走才能使总路程最短，这就是将军饮马问题.解 河流 答方法是，作点A关于河的对称点A',连接A'B,与河岸交于点P,在P处饮马 路程最短，原理是两点之间线段最短 一求线段和最值 2.一定两动型 1.两定一动型 【例2】如图，在△ABC中，AB=AC=5,D为BC 【例1】如图，AM⊥EF,BN LEF,垂足分别为M, 的中点，AD=4,P为AD上任意一点，E为AC上 N,MN=12m,AM=5m,BN=4m,P是EF上任 任意一点，则PC+PE的最小值为 意一点，则PA+PB的最小值是 m E M P N B D 【思路分析】这是最基本的“将军饮马”问题， 【思路分析】这里的点C是定点，P,E是动 A,B是定点，P是动点，属于两定一动型将军 点，属于一定两动型将军饮马模型.由于 饮马模型，根据常见的“定点定线作对称”，可 △ABC是等腰三角形，AD是BC的中线，则 作点A关于EF的对称点A',根据两点之间， AD垂直平分BC,点C关于AD的对称点是点 线段最短，连接A'B,此时A'P+PB即为A'B. B,PC+PE=PB+PE.根据“垂线段最短”，当 而要求A'B,则需要构造直角三角形，利用勾 BE⊥AC时，BE最短.求BE时，用面积法即可， 股定理解决。 【答案哈 【答案】15 。192(数学 第三部分通法模型篇 3.两定两动型 二求角度 【例3】如图，∠A0B=30°，0C=5,0D=12 【例4】P为∠AOB内一定 E,F分别是射线OA,OB上的动点，则CF+ 点，M,N分别为射线OA, D EF+DE的最小值为 OB上一点，当△PMN周 长最小时，∠MPN=80°， 则∠AOB= 【思路分析】这又是一定两 0 F D B 动型将军饮马问题，我们应该先将M,N的位置 【思路分析】这里的C,D是定点，E,F是动 找到，再来思考∠AOB的度数，显然作点P关于 点，属于两定两动型将军饮马模型，依旧可以 OA的对称点P,关于OB的对称点P",连接P 用“定点定线作对称”来考虑.作点C关于 P",其与OA交点即为M,与OB交点即为N,如 OB的对称点，点D关于OA的对称点 图，易知∠DPC与∠AOB互补，求出∠DPC的度 【答案】13 数即可. 【答案】50 强化练习 1.如图，在边长为2的正三角形ABC中，E, 3.如图，在五边形ABCDE中，∠BAE=136°， F,G为各边的中点，P为线段EF上一动 ∠B=∠E=90°，在BC,DE上分别找一点 点，连接BP,GP,则△BPG周长的最小值 M,N,使得△AMN的周长最小，则∠AMN+ 为 ∠AWM的度数为 G 2.如图，斯诺克比赛桌面AB宽1.78m,白球 4.如图，四边形ABCD是矩形，AB=5,BC= E距AD边0.22m,距CD边1.4m,有一颗 12,M是对角线BD上一动点，点M,与点 红球F紧贴BC边，且距离CD边0.1m,若 M关于AD对称，点M3与点M关于AB对 要使白球E经过边AD,DC,两次反弹击中 称，连接MM2,M1M2恰好经过点A,则 红球F,则白球E运动路线的总长度为 M,M2的最小值为 m. 上o 数学193■ 河南易中考 二、全等模型 模型讲解 平移模型 【例2】如图，在△ABC中，AB=AC,D是三角 此模型的特征是有一组边共线或部分重合， 形内一点，连接AD,BD,CD,∠BDC=90°， 另两组边分别平行，常要在移动方向上加 ∠DBC=45°. (减)公共线段，构造线段相等，或利用平行线 性质找到对应角相等。 【例1】如图，已知点E,C在线段BF上，BE= (1)求证：∠BAD=∠CAD. CF,AB∥DE,∠ACB=∠F.求证：AC=DF (2)求∠ADB的度数， 解：(1)证明：，∠BDC=90°，∠DBC=45°， .∠BCD=180°-∠BDC-∠DBC=45°， .∠DBC=∠BCD,∴.DB=DC. E AB =AC, 证明：·AB∥DE,∴，∠ABC=∠DEF 在△ABD与△ACD中， DB DC. :BE=CF,∴.BC=EF LAD AD. 又，∠ACB=∠F,∴.△ABC≌△DEF(ASA), ,∴.△ABD≌△ACD(SSS),.∴∠BAD=∠CAD. ∴，AC=DF (2):'△ABD≌△