第08讲 拓展一：空间几何体内接球与外接球问题(精讲）-【学霸之路】2024年高考数学一轮复习高频考点精讲精练（新教材新高考）

第08讲 拓展一：空间几何体内接球与外接球问题 目录 第一部分：知识点必背 1 第二部分：高考真题回归 4 第三部分：高频考点一遍过 4 高频考点一：内切球 4 角度1：等体积法 4 角度2：独立轴截面法 5 高频考点二：长方体、正方体外接球问题 6 高频考点三：补形法 7 角度1：墙角型 7 角度2：对棱相等型 8 高频考点四：单面定球心法 9 角度1：底面是等边三角形 9 角度2：底面是直角三角型 10 角度3：底面是普通三角型 10 高频考点五：双面定球心 12 第一部分：知识点必背 1、球的内切问题（等体积法） 例如：在四棱锥中，内切球为球，求球半径.方法如下： 即：，可求出. 2、内切球独立截面法 如图，在三棱锥中，是其内切球球心，求其内切球的半径 ①在例题图形中，画出过经过球心和切点的大圆的截面图，如图中 ②在独立截面中，找到和球半径相关的直角三角形，如图中和 ③利用相似性求出内切球半径. 3、正方体、长方体外接球 ①正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半； 设长方体一个顶点出发的三条边长分别为，，，则外接球半径； ②长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半； 设正方体边长为，则外接球半径； 4、墙角型，对棱相等型——补形法（补长方体或正方体） ①若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示． ②若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示． ③正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图3所示． ④若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示 5、单面定球心法（定+算） 步骤：①定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥中，选中底面，确定其外接圆圆心（正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心）； ②过外心做（找）底面的垂线，如图中面,则球心一定在直线（注意不一定在线段上）上； ③计算求半径:在直线上任取一点如图：则，利用公式可计算出球半径. 6、双面定球心法（两次单面定球心） 如图：在三棱锥中： ①选定底面，定外接圆圆心 ②选定面，定外接圆圆心 ③分别过做面的垂线，和做面的垂线，两垂线交点即为外接球球心. 第二部分：高考真题回归 1．（2022·全国（新高考Ⅱ卷）·统考高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2022·全国（乙卷文理）·统考高考真题）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（    ） A． B． C． D． 3．（2022·全国（新高考Ⅰ卷）·统考高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2023·全国（乙卷文）·统考高考真题）已知点均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则________． 5．（2023·全国（甲卷理）·统考高考真题）在正方体中，E，F分别为AB，的中点，以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有____________个公共点． 6．（2023·全国（甲卷文）·统考高考真题）在正方体中，为的中点，若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的取值范围是________． 第三部分：高频考点一遍过 高频考点一：内切球 角度1：等体积法 典型例题 例题1．（河北省唐山市十县一中联盟2022-2023学年高一下学期期中数学试题）正四棱锥中，底面边长，侧棱，在该四棱锥的内部有一个小球，则小球表面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 例题2．（2023春·山东菏泽·高一统考期中）已知正三棱锥中，，，，则正三棱锥内切球的半径为（    ） A． B． C． D． 角度2：独立轴截面法 典型例题 例题1．（2023·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）已知球与圆台的上下底面和侧面都相切．若圆台的侧面积为；上、下底面的面积之比为，则球的表面积为（    ）． A． B． C． D． 例题2．（2023春·江苏·高一专题练习）在炎热的夏天里，人们都喜欢在饮品里放冰块.如图是一个高脚杯，它的轴截面是正三角形，容器内有一定量的水.若在高脚杯内放入一个球形冰块后，冰块没有开始融化前水面所在的平面恰好经过冰块的球心（水没有溢出），则原来高脚杯内水的体积与球的体积之比是（    ） A．1 B． C． D． 例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知圆锥的底面半径为2，高为，则该圆锥内切球的体积为（    ） A． B． C． D． B． 考点一练透