第19讲解直角三角形及其应用（讲本）-2022年中考数学【中考先锋】中考复习讲练测学用

第19讲解直角三角形及其应用A71 第19讲 解直角三角形及其应用 知识要点梳理 心知识点1锐角三角函数 心知识点3解直角三角形的应用 1.定义： 1.相关概念： 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=a,AC=b, 杌线 AB=c. L 仰角、 线 的角水线 俯角 机线 斜边e 对边a 在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上 方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角 邻边h 正弦：sinA=∠A的对边=① 斜边 坡度 余弦00sA=∠A的邻边=@ 斜边 (坡比)、 ∠A的对边=③ 坡角 坡面的铅直高度h和水平宽度！的比叫坡度（玻 正切：tanA= ∠A的邻边 比)，用字母i表示，坡面与水平线的夹角a叫坡 2.特殊角的三角函数值： 角.i=tna=④ 30 45 60 北 sina 2 号 罗 东 cosa 罗 受 2 60 一般指以观察者的位置为中心，将正北或正南方 tang 复 1 3 方位角 向作为起始方向，旋转到目标方向所成的角( ①D知识点2 解直角三角形 般指锐角)，通常表达成北（南）偏东（西）多少度， 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=a,AC= 如图，点A位于点O的北偏东30°方向，点B位 b,AB=c. 于点O的南偏东⑤ 方向，点C位于点O 的北偏西⑥ 方向（或西北方向） 2.解直角三角形的应用的一般解题步骤：运用解直角 三角形解决实际问题时，要读懂题意，由实物图抽 象出数学图形，把实际问题转化为直角三角形中的 已知条件 解题步骤 边角关系问题，具体步骤如下： a.b (1D由tanA=4→求∠A:(2)c=Va+b (1)根据题干中的信息准确识别示意图，弄明白图 b 中哪些是已知量，哪些是未知量： ac (1)由sinA=a→求∠A:(2)b=√-a (2)寻找直角三角形，将已知条件转化为示意图中 ()由tanA= →a=b·tanA: 的边角关系，将所求线段通过等量代换转化在 b,∠A 直角三角形中.若找不到直角三角形，则作辅助 (2)由c0sA= b c cosA 线构造直角三角形，常见添加辅助线的方法有 （)由anA-分一6=品 两种：三角形作高法和梯形作高法： a,∠A tanAi (3)根据直角三角形元素之间的关系列关系式并 (2由sinA=兰+e= 求解： (1)由sinA=a→a=c·sinA: (4)检验上述所求的解是否符合实际意义，同时注 c c,∠A 意题目对结果的精确度有无要求： (2)由c0sA=b +b=c·c0sA (5)作答. A72 中考先锋·数学 考点精讲精练 考点1 直角三角形中的边角关系 2.(2020·南充)如图，点A,B,C在正方形网格的格 考点精讲 点上，则sin∠BAC的值为( 1.(2020·杭州)如图，在△ABC中，∠C=90°，设 D.V13 ∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,则下列结论 A号 B爱 c 13 正确的是( 3.(2020·菏泽)如图，在△ABC中， A.c=bsinB B.b=csinB ∠ACB=90°，D为边AB的中点， C.a=btanB D.b=ctanB 连接CD.若BC=4,CD=3,则 cos∠DCB的值为 、考点2 解直角三角形的应用 考点精讲 第1题图 第2题图 3.(2020·铜仁)如图，一艘船由西向东航行，在A处 2.(2020·聊城)如图，在4×5的正方形网格中，每个 测得北偏东60°方向上有一座灯塔C,再向东继续 小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小 航行60km到达B处，这时测得灯塔C在北偏东 正方形的顶点上，则sin∠ACB的值为( ) 30°方向上.已知在灯塔C的周围47km内有暗礁， A.3v5 B117 问这艘船继续向东航行是否安全？ 5 5 【思路分析】过点C作CD⊥AB于点D,根据方向 c号 4 D 角的定义及余角的性质得出∠BCA=∠BAC= 自主解答 30°，∠ACD=60°，从而根据等角对等边得出BC= 守分宝典++小小小小小小小小小小小小 AB=60km,然后在Rt△BCD中求出CD的长 1.作高法构造直角三角形求三角函数值：当 即可， 所求三角函数对应的角不在直角三角形中时，可 自主解答： 以通过作高线构造含有所求角的直角三角形，进 而利用三角函数的定义求值 2.在网络中构造直角三角形：根据网格的特 点，在网格中构造锐角所在的直角三角形，即将 所求角转化到构造的直角三角形中，若直角顶点 恰好在格点上，则可先运用勾股定理求出三角形 的边长，再利用锐角三角函数的定义求解：若直 角顶点不在格点上，则可先利用等积法、勾股定 理等方法来求出相关边的长度，然后利用锐角三 角函数的定义求解. 对点训练 1.如图，在△ABC中，CA=CB=4,c0sC=子，则AB 的