6-3 等比数列 (精讲精练）-【三维备考】2024年高考数学大一轮复习高频考点与题型分类（新高考专用）

6-3 等比数列 1.理解等比数列的概念. 2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式. 3.了解等比数列与指数函数的关系． 6-3 等比数列 1 一、主干知识 1 考点1：等比数列的有关概念 1 考点2：等比数列的有关公式 2 考点3：等比数列的常用性质 2 【常用结论总结】 2 二、分类题型 3 题型一 等比数列基本量的运算 3 题型二 等比数列的判定与证明 4 题型三 等比数列的性质 5 三、分层训练：课堂知识巩固 6 一、主干知识 考点1：等比数列的有关概念 (1)定义：（又名几何数列），是一种特殊数列．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）． 注：q＝1 时，an为常数列．定义的表达式为＝q(n∈N*，q为非零常数)． (2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab. 考点2：等比数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1qn－1. (2)前n项和公式：Sn＝ 考点3：等比数列的常用性质 （1）通项公式的推广：an＝am•qn﹣m，（n，m∈N*）． （2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则 ak•al＝am•an （3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an•bn}，仍是等比数列． （4）单调性：或⇔{an}是递增数列；或⇔{an}是递减数列；q＝1⇔{an}是常数列；q＜0⇔{an}是摆动数列． 【常用结论总结】 1．等比数列的前n项和公式等比数列{an}的公比为q（q≠0），其前n项和为Sn， 当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝． 2．等比数列前n项和的性质 公比不为﹣1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n仍成等比数列，其公比为qn． 3．等比数列{an}的通项公式可以写成an＝cqn，这里c≠0，q≠0. 4．等比数列{an}的前n项和Sn可以写成Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠1,0)． 二、分类题型 题型一 等比数列基本量的运算 【例题精析1】 （2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）英国数学家亚历山大·艾利斯提出用音分来精确度量音程，音分是度量不同乐音频率比的单位，也可以称为度量音程的对数标度单位.一个八度音程为1200音分，它们的频率值构成一个等比数列.八度音程的冠音与根音的频率比为2，因此这1200个音的频率值构成一个公比为的等比数列.已知音M的频率为m，音分值为k，音N的频率为n，音分值为l.若，则=（    ） A．400 B．500 C．600 D．800 【例题精析2】 （2023·河北唐山·开滦第二中学校考模拟预测）已知数列为等比数列，且，，则（    ） A．30 B． C．40 D． 【例题精析3】 （2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）设是等比数列，且，，则（    ） A．8 B．-8 C．4 D．-4 【例题精析4】 （2023·全国·统考高考真题）已知为等比数列，，，则______. (1)等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解． (2)等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝＝. 【对点精练1】 （2023·天津·统考高考真题）已知为等比数列，为数列的前项和，，则的值为（    ） A．3 B．18 C．54 D．152 【对点精练2】 （2023春·湖北武汉·高二武汉市第四十九中学校考阶段练习）已知正项等比数列满足，则的最小值是（    ） A．4 B．9 C．6 D．8 【对点精练3】 （2023·北京·统考高考真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则___________；数列所有项的和为____________． 【对点精练4】 （2023春·江西抚州·高二资溪县第一中学校考期中）已知数列满足，若，则_________． 【对点精练5】 （2023·上海虹口·华东师范大学第一附属中学校考三模）已知等比数列中，若成等差数列，则______． 题型二 等比数列的判定与证明 【例题精析5】 （2023·全国·高二专题练习）甲、乙、丙三个小学生相互抛沙包，第一次由甲抛出，每次抛出时，抛沙