2023年陈省身全国高中数学夏令营（陈杯赛）试题

2023年陈省身全国高中数学夏令营（陈杯赛）试题 第一天(2023年7月23日18:00-21:00) (每题50分，共200分) 1.设数列x1=，xn+1=xn—xn3，n=1,2，...试求正整数m使得<x2023≤. 2.已知⊙O为定圆，A,B,C为⊙O上的三个动点，使得△ABC为锐角三角形，且AB< AC，AD为△ABC的一条高线，I 为△ABC的内心，过点I作△ADI的外接圆的切线，与直线AD交于点P.设AA'为⊙O的直径,过点A'作直线AA'的垂线与直线AB交于点E,过点P作直线A'P的垂线与直线AB交于点H，过点E作直线A'H的垂线与直线A'B交于点F.证明: (1) AP为定长: (2) A'P 平分线段EF. 3.给定点集M={(x,y)|x,y∈[1,2023]∩Z}，如果线段AB的两个端点都在M中，|AB|=，且直线AB的斜率不为，则称AB为“好线段”.证明:对于M中任意不同两点P、Q,存在正整数n和M中的一列点A0,A1，……，An+1，使得A0=P,An+1=Q，且AiAi+1都是“好线段”(0≤i≤n). 4.若集合X∈{1,2,……，n}满足:在X的任意五元子集A中都可以找到两个元素a,b(a<b)使得a|b.记|x|的最大可能值为f(n)(这里|X|表示集合X中的元素个数)，求f(2023)+ f(3000)+ f(10000). 2023年陈省身全国高中数学夏令营 第二天(2023年7月24日18:00-21:00) (每题50分，共200分) 5.已知锐角三角形△ABC满足AB>AC，M为边BC的中点，△ABC的内心为I，∠A内的旁切圆⊙I1与边BC切于点D, DD1为⊙I1的直径，直线AM与DD1交于点K，若∠ABC=β,∠BCA=γ，试证明: (1)=>tantan; (2)=(cotcot—1). 6.已知多项式f(x)=x7 +a6x6 +……+a1x+a0有7个互不相同的实根，求系数a0,a1,……，a6中的零的个数的最大可能值. 7.已知集合{1,2,……,n的子集A1,A2,……,Am满足|Ai|=ri≤，且当i≠j时，有AiAj, Ai∩Aj≠Ø.试证明: ≤1. 8.设m≥2为正整数，用白色或黑色将1,2,……,m染色，对于任意的正整数i,j (这里1≤i< j≤m),若{x∈N+|i≤x≤j}中被染为黑色的个数为奇数，则称数对(i, j)是“好的”，求“好的”数对个数的最大可能值f(m). 学科网（北京）股份有限公司 $