第17讲 《圆》单元总结及考点类型题例题剖析问题（讲义）-2023-2024学年人教版九年级数学上册同步学讲练测系列讲座之《圆》

2023-2024人教版九年数学上册同步学讲练测系列讲座之《圆》 第17讲 《圆》单元总结及考点类型题例题剖析问题 学新课标对知识点要求 （1）理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念,了解等圆、等弧的概念；探索并掌握点与圆位置关系。 （2）探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两 条弧。 （3）探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，知道同弧（或等弧） 所对的圆周角相等。了解并证明圆周角定理及其推论：圆周角等于它 所对弧上的圆心角的一半；直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角 所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补。 （4）了解三角形的内心与外心。 （5）了解直线与圆的位置关系，掌握切线的概念。 （6）能用尺规作图：过不在同一直线上的三点作圆；作三角形的外 接圆、内切圆；作圆的内接正方形和内接正六边形。 （7）能用尺规作图：过圆外一点作圆的切线。 （8）*探索并证明切线长定理：过圆外一点的两条切线长相等。 （9）会计算圆的弧长、扇形的面积。 （10）了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系。 单元思维导图 学知识点及其解读 1．圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。 2.圆的性质：（1）圆具有旋转不变性；（2）圆具有轴对称性；（3）圆具有中心对称性。 3.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 4．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 5．圆心角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。圆心角的度数等于它所对弧的度数。 6．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。 　　在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。 　　在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦心距也相等。 7.圆周角：顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角叫做圆周角。 8.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 9．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 10. 点和圆的位置关系： ① 点在圆内点到圆心的距离小于半径 ② 点在圆上点到圆心的距离等于半径 ③ 点在圆外点到圆心的距离大于半径 11. 过三点的圆：不在同一直线上的三个点确定一个圆。 12. 外接圆和外心：经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。 外接圆的圆心，叫做三角形的外心。外心是三角形三条边垂直平分线的交点。外心到三角形三个顶点的距离相等。 13．若四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆。 14．圆内接四边形的特征： ①圆内接四边形的对角互补； ②圆内接四边形任意一个外角等于它的内对角。 15.直线与圆有3种位置关系： 如果⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么 ① 直线和⊙O相交； ② 直线和⊙O相切； ③ 直线和⊙O相离。 16.和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。内心是三角形三个角的角平分线的交点。内心到三角形三边的距离相等。 17.切线的性质 （1）经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。 （2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。 （3）圆的切线垂直于经过切点的半径。 18.切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 19.切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 20．设圆的半径为，圆的半径为，两个圆的圆心距，则： （1）两圆外离 ； （2）两圆外切 ； （3）两圆相交 ； （4）两圆内切 ； （5）两圆内含 21.正多边形的概念：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。 22.正多边形与圆的关系： 将一个圆n(n≥3)等分(可以借助量角器)，依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形。这个圆是这个正多边形的外接圆。 23.正多边形的有关概念： (1)正多边形的中心——正多边形的外接圆的圆心。 (2)正多边形的半径——正多边形的外接圆的半径。 (3)正多边形的边心距——正多边形中心到正多边形各边的距离。 (4)正多边形的中心角——正多边形每一边所对的外接圆的圆心角。正n边形的中心角都等于　 24.正多边形性质： (1)任何正多边形都有一个外接圆。 (2)正多边形都是轴对称图形，当边数是偶数时，它又是中心对称图形，正n边形的对称轴有n条。 (3)边数相同的正多边形相似。　　 25.正多边形的有关计算： 正n边形的n条半径把正n边形分成n个全等的等腰三角形，等腰