第16讲 与圆的知识相关的作图问题（拓展）（讲义）-2023-2024学年人教版九年级数学上册同步学讲练测系列讲座之《圆》

2023-2024人教版九年数学上册同步学讲练测系列讲座之《圆》 专题16 与圆的知识相关的作图问题（拓展） 1. 已知：不在同一直线上的三点A、B、C. 求作： ⊙O,使它经过点A、B、C. 2. （2023黑龙江绥化） 已知：点是外一点． （1）尺规作图：如图，过点作出的两条切线，，切点分别为点、点．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明） （2）在（1）的条件下，若点在上（点不与，两点重合），且．求的度数． 3．图1是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程 已知：Rt△ABC，∠C=90°，求作Rt△ABC的外接圆． 作法：如图2． （1）分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点； （2）作直线PQ，交AB于点O； （3）以O为圆心，OA为半径作⊙O．⊙O即为所求作的圆． 请回答：该尺规作图的依据是　 　． 4. （2023天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等边三角形内接于圆，且顶点A，B均在格点上． （1）线段的长为________； （2）若点D在圆上，与相交于点P．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点Q，使为等边三角形，并简要说明点Q的位置是如何找到的（不要求证明）________． 5. 已知：． （1）尺规作图：用直尺和圆规作出内切圆的圆心O；（只保留作图痕迹，不写作法和证明） （2）如果的周长为14，内切圆的半径为1.3，求的面积． 6．（2021河北省）如图，等腰△AOB中，顶角∠AOB＝40°，用尺规按①到④的步骤操作： ①以O为圆心，OA为半径画圆； ②在⊙O上任取一点P（不与点A，B重合），连接AP； ③作AB的垂直平分线与⊙O交于M，N； ④作AP的垂直平分线与⊙O交于E，F． 结论Ⅰ：顺次连接M，E，N，F四点必能得到矩形； 结论Ⅱ：⊙O上只有唯一的点P，使得S扇形FOM＝S扇形AOB． 对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（　　） A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 7．（2021辽宁营口）如图，∠MON＝40°，以O为圆心，4为半径作弧交OM于点A，交ON于点B，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧在∠MON的内部相交于点C，画射线OC交于点D，E为OA上一动点，连接BE，DE，则阴影部分周长的最小值为 　 　． 8．如图，已知锐角△ABC中，AC＝BC． 请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：作∠ACB的平分线CD；作△ABC的外接圆⊙O；（不写作法，保留作图痕迹） 9. 如图，已知P是外一点．用两种不同的方法过点P作的一条切线．要求： （1）用直尺和圆规作图； （2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． 10．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）请按如下要求完成尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）． ①作∠BAC的角平分线AD，交BC于点D； ②作线段AD的垂直平分线EF与AB相交于点O； ③以点O为圆心，以OD长为半径画圆，交边AB于点M． （2）在（1）的条件下，求证：BC是⊙O的切线. 11．我们学习过利用用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的，人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具--------三分角器．图1是它的示意图，其中与半圆的直径在同一直线 上，且的长度与半圆的半径相等；与重直于点 足够长． 使用方法如图2所示，若要把三等分，只需适当放置三分角器，使经过的顶点，点落在边上，半圆与另一边恰好相切，切点为，则就把三等分了． 为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程． 已知：如图2，点在同一直线上，垂足为点， 求证： 12．已知：△ABC． 求作：⊙O，使它经过点B和点C，并且圆心O在∠A的平分线上． 13.如图，点O在∠ABC的边BC上，以OB为半径作⊙O，∠ABC的平分线BM交⊙O于点D，过点D作DE⊥BA于点E． （1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹），补全图形； （2）判断⊙O与DE交点的个数，并说明理由． 14.在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知，C是弦AB上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程．（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）； ①作线段AC的垂直平分线DE，分别交于点D，AC于点E，连接AD，CD； ②以点D为圆心，DA长为半径作弧，交于点F（F，A两点不重合），连接DF，BD，BF． （2）直接写出引理的结论：线段BC，BF的数量关