第15讲 与圆有关的证明及计算的综合（拓展）问题（讲义）-2023-2024学年人教版九年级数学上册同步学讲练测系列讲座之《圆》

2023-2024人教版九年数学上册同步学讲练测系列讲座之《圆》 第15讲 与圆有关的证明及计算的综合（拓展）问题 学习目标 1.能用圆的一些理论证明圆的问题； 2.能用圆的一些理论计算圆的问题； 3.加深对垂径定理、圆周角定理、切线判定定理及性质以及扇形、圆锥弧长面积公式的进一步理解。 对知识点的解读 圆的证明与计算是中考必考点，也是中考的难点之一。纵观全国各地中考数学试卷，能够看出，圆的证明与计算这个专题内容有三种题型：选择题、填空题和解答题。 1.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 2.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 3.判定切线的方法 （1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。常见手法有全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直； （2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。常见手法有角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线；总而言之，要完成两个层次的证明： ①直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）； ②直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线. 4.与圆有关的计算 计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合，形式复杂，无规律性。分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线段或者角度的转化。特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的关系，从而化未知为已知，解决问题。其中重要而常见的数学思想方法有： （1）构造思想：①构建矩形转化线段；②构建“射影定理”基本图研究线段（已知任意两条线段可求其它所有线段长）；③构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径；④构造勾股定理模型；⑤构造三角函数. （2）方程思想：设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是发现其中的相等关系建立方程，解决问题。 （3）建模思想：借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基本图形的问题，通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段之间的数量关系。 3.攻克典型基本模型图是解决圆的所有难题的宝剑。 类型题例题解析 【例题1】（2023广东省）综合探究 如图1，在矩形中，对角线相交于点，点关于的对称点为，连接交于点，连接． （1）求证：； （2）以点为圆心，为半径作圆． ①如图2，与相切，求证：； ②如图3，与相切，，求的面积． 【例题2】（2022广西北部湾）如图，在中，，以AC为直径作交BC于点D，过点D作，垂足为E，延长BA交于点F． （1）求证：DE是的切线 （2）若，求的半径． 专题达标精练 1. （2023大连）如图1，在中，为的直径，点为上一点，为的平分线交于点，连接交于点． （1）求的度数； （2）如图2，过点作的切线交延长线于点，过点作交于点．若，求的长． 2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D的切线分别交AB，AC的延长线于E，F，连接BD． （1）求证：AF⊥EF； （2）若AC=6，CF=2，求⊙O的半径． 3. 如图，已知是的直径，点为延长线上一点，是的切线，点为切点，且． （1）求的度数； （2）若的半径为3，求圆弧的长． 4. 如图，为⊙的直径，过圆上一点作⊙的切线交的延长线与点，过点作交于点，连接． （1）直线与⊙相切吗？并说明理由； （2）若，，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024人教版九年数学上册同步学讲练测系列讲座之《圆》 第15讲 与圆有关的证明及计算的综合（拓展）问题 学习目标 1.能用圆的一些理论证明圆的问题； 2.能用圆的一些理论计算圆的问题； 3.加深对垂径定理、圆周角定理、切线判定定理及性质以及扇形、圆锥弧长面积公式的进一步理解。 对知识点的解读 圆的证明与计算是中考必考点，也是中考的难点之一。纵观全国各地中考数学试卷，能够看出，圆的证明与计算这个专题内容有三种题型：选择题、填空题和解答题。 1.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 2.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 3.判定切线的方法 （1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。常见手法有全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直； （2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。常见手法有角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线；总而言之，要完成两个层次的证明： ①直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）； ②直线与半径的关系是互相垂直。