第14讲 探究四点共圆的条件及应用（拓展）问题（讲义）-2023-2024学年人教版九年级数学上册同步学讲练测系列讲座之《圆》

2023-2024人教版九年数学上册同步学讲练测系列讲座之《圆》 第14讲 探究四点共圆的条件及应用（拓展）问题 学习目标 1.理解过某个四边形的四个顶点能做一个圆的条件。 2.通过四点共圆的条件的探索和猜想的证明，体会由特殊到一般、转化的数学思想。 3.能用四点共圆的条件解决圆的有关问题。 学习重点：四点共圆的条件的探究。 学习难点：反证法证明命题。 对知识点的解读 【温故知新】本讲是新人教版九年级上册第24章《圆》数学活动2探究四点共圆的条件，是在学生学习了经过一个点的圆、经过两个点的圆、经过不在同一直线上的三个点的圆、三角形与圆的关系、圆内接四边形后，对经过任意三点都不在同一直线上的四点共圆的条件的探究。通过本节课的活动探究，让学生对四点共圆的问题有了个初步的认识，对某些不是圆的平面几何问题能转化到圆这个模型中进行解答。为学生今后学习奠定良好的思维路径。所以先复习回顾，激活学生原有的认知结构，促使新旧知识结构的联结，满足“温故而知新”的教学原理。为本节课探究猜想作好垫铺。 1.怎样确定一个圆？ 2.什么叫做圆内接四边形？圆内接四边形有什么性质？ 3.与圆周角有关的性质定理：半圆（或直径）所对的圆周角是直角. 4.什么叫做反证法？反证法的一般步骤是？ （1）假设命题的结论不成立； （2）从这个假设出发，经过推理，得出矛盾； （3）由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题的结论正确。 【提出问题】我们知道经过一点、经过两点可以作无数个圆，而经过不在同一直线上的三点只能作一个圆.即过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆. 现在的问题是：过任意一个四边形的四个顶点能不能作一个圆？若能，四点共圆需要具备什么条件呢？ 或者说满足什么条件的四边形的四个顶点会共圆？ 分类讨论：过任意四点能作一个圆么？ （1）四点在同一直线上，不能做一个圆； （2）三点在同一条直线上，另一点不在这条直线上，不能做一个圆； （3）四点中任意三点都不在同一直线上，不确定。 【有依据的猜想】我们知道圆内接四边形对角互补，由此可以猜想，对角互补的四边形的四个顶点可能在同一个圆上.四边形的哪些元素决定了过它的四个顶点是否可以作一个圆？通过问四边形哪些元素决定四点共圆，思考几何图形的性质与判定的关系，结合所作四点共圆的四边形的依据下，学生可以顺理成章的猜想到，对角互补的四边形四点共圆，强化了本节课的重点。 1.与圆周角有关的性质定理：半圆（或直径）所对的圆周角是直角. 猜想1：若∠BAC=∠BDC=90°，则A、B、C、D四点共圆.即共斜边的直角三角形的顶点共圆. 2.圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补. 猜想2：对角互补的四边形的四个顶点共圆. 【探究猜想】小组活动要求 1.请拿出准备好的四边形，作圆。 2. 类比不在同一直线上的三点确定一个圆的方法，先过三点作圆，再看第四个点是否在这个圆上。 3.在作图过程中，小组成员相互协作，共同完成作图。 4.然后小组成员经过度量内角、计算一组内对角的和。讨论猜测：四边形内对角满足什么条件时，四边形的四个顶点才能共圆？ 【探究过程】提出2个问题，积极引发学生的思维，从学生熟悉的图形出发，让学生第一认知，四点共圆是需要条件的，不是任意的四边形都有外接圆。让学生先思考，思考后在操作来验证自己思考的是否正确。 分别过平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形的四个顶点能否作一个圆,你是怎样确定这四点共圆的？ 让学生动手操作，进一步明确不是所有的四边形都有外接圆，四点共圆是要有条件的，你是怎样确定这四点共圆？启发学生深层次的思考，对矩形，正方形有外接圆找理论依据。 提示最基本的方法：若能够找一点使得它到已知四点的距离相等，则这四点肯定共圆.引导学生找四点共圆的条件，让学生进一步学会用数学思维解决数学问题，遇到数学问题，首先想到用定义来试着解决问题。并利用一个经典例题来强化学生的思维。 我们知道经过一点、经过两点可以作无数个圆，而经过不在同一直线上的三点只能作一个圆.即过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆. 现在的问题是：过任意一个四边形的四个顶点能不能作一个圆？若能，四点共圆需要具备什么条件呢？ 或者说满足什么条件的四边形的四个顶点会共圆？ 分类讨论：过任意四点能作一个圆么？ （1）四点在同一直线上，不能做一个圆； （2）三点在同一条直线上，另一点不在这条直线上，不能做一个圆； （3）四点中任意三点都不在同一直线上，不确定。 正方形 平行四边形 矩形 菱形 等腰梯形 任意四边形 测量四边形的边和角，四点共圆的四边形都具有怎样的共同特征呢？ 共圆有: 正方形、矩