（模块化思维提升）专题4-等积变形（位移、割补）-小升初数学思维拓展几何图形专项训练（通用版）

专题4-等积变形（位移、割补） 小升初数学思维拓展几何图形专项训练 （知识梳理+典题精讲+专项训练） 1、等积变形的主要方法： （1）三角形内等底等高的三角形； （2）平行线内等底等高的三角形； （3）公共部分的传递性； （4）极值原理（变与不变）。 【典例一】如图所示：一块长方形草坪，长20米，宽14米，中间有一条宽2米的曲折小路．求小路的占地面积？ 【分析】无论这曲折小路如何再曲折，都可以将曲折小路分成两类，一类是竖的，一类是横的，可以把竖的往左拼，横的往上拼，如下图则小路面积不难算出，竖的部分14×2，横的部分20×2，计算重叠2×2，则小路面积为（20+14）×2-2×2=64（平方米）． 【解答】解：小路面积为：（20+14）×2-2×2=64（平方米）， 答：小路的占地面积64平方米． 【点评】利用等积变形、平移知识把曲折的小路拉直，就变成规则的图形包括三部分竖的长方形，横的长方形和重叠的小正方形，进而解答． 【典例二】如图，五边形是一片荒地的示意图，陈家承包后想将其中的小路改成直路，然后在直路，然后在直路两旁分别种植不同的蔬菜，并使改道前后路两旁的面积，保持不变，请你左图中画出这条直路．（图中体现画法 【分析】利用尺规作图做，如图 根据两条平行线之间的垂线段相等和同底等高的三角形的面积相等，可得，由此作图即可． 【解答】解：画法如图所示，连接， 过点作， 交于点， 连接， 即为所求直路的位置． 【点评】此题利用两条平行线之间的垂线段相等和同底等高的三角形的面积相等的知识作图． 【典例三】和都是高度为12厘米的圆柱形容器，底面半径分别是1厘米和2厘米，一水龙头单独向注水，一分钟可注满．现将两容器在它们的高度的一半出用一根细管连通（连通管的容积忽略不计），仍用该水龙头向注水，求 （1）2分钟容器中的水有多高？ （2）3分钟时容器中的水有多高． 【分析】已知容器的底面半径是容器的2倍，高相等，容器的容积就是容器的4倍；因此，单独注满容器需要4分钟，要把两个容器都注满一共需要（分钟），已知现在两个容器在它们高度一半处用一个细管连通，2分钟后中的水位是容器高的一半，即（厘米）（其余的水流到容器了）；由此可知，用2.5分钟的时间两个容器中的水的高度相等，都是6厘米；以后的时间两个容器中的水位同时上升，用（分钟）分钟注入两个容器的高度加上6厘米即是3分钟后的高度． 【解答】解：（1）容器的容积是：（立方厘米）， 容器的容积是：（立方厘米）， ， 即容器的容积是容器容积的4倍， 因为一水龙头单独向注水，一分钟可注满， 所以要注满容器需要4分钟， 因此注满、两个容器需要（分钟）， 已知现在两个容器在它们高度一半处用一个细管连通， 2分钟后中的水位是容器高的一半，即（厘米）； （2）因为注满、两个容器需要（分钟）， 所以（分钟）时，、容器中的水位都是容器高的一半，即6厘米， 2.5分钟后两容器中的水位是同时上升的， 3分钟后，实际上（分钟）水位是同时上升的， ， （厘米）， （厘米）； 答：2分钟时，容器中的高度是6厘米，3分钟时，容器中水的高度是7.2厘米． 【点评】此题主要考查圆柱的体积（容积）的计算，解答关键是理解现在两个容器在它们高度一半处用一个细管连通，当中的水高是容器高的一半时，其余的水流到容器了；以后的时间两个容器中的水位同时上升，即注满两容器时间的乘容器高就是0.5分钟上升的水的高度． 一．选择题（共4小题） 1．我国古代数学家刘徽利用“出入相补”原理计算平面图形的面积，其原理是：把一个图形分割、移补，而面积保持不变。下面没有用到这个原理的是　　 A． B． C． D． 2．一个圆柱形橡皮泥，底面积是，高是，如果把它捏成同样底面积大小的圆锥，这个圆锥的高是　　． A．2 B．3 C．18 D．36 3．轧钢厂要把一种底面直径6厘米，长1米的圆柱形钢锭，轧制成内径（内侧直径）为10厘米，外径（外侧直径）为30厘米的无缝钢管，如果不计加工过程中的损耗，则这种无缝钢管的长是　　 A．4.25厘米 B．5厘米 C．4厘米 D．4.5厘米 4．如图，长方形的面积与圆的面积相等，已知阴影部分的面积是，圆的周长是　　． A．18.84 B．75.36 C．37.68 二．填空题（共10小题） 5．如图，为正六边形，为其内部任意一点，若、的面积分别为3和12，则正六边形的面积是　 　． 6．一个圆柱铅块和一个圆锥铅块等底等高，它们可以熔铸成一个长8厘米、宽3厘米、厚2厘米的长方体，那么圆柱的体积是　　立方厘米，它们的体积相差　　立方厘米． 7．（如图）运用了数学思想方法是 　　，你还知道哪些数学思想方法？再列举一个 　　。 8．把一个底面半径2厘米、高1.5厘米的圆柱形钢锭，铸成底面积大小不变的圆锥形钢锭，圆柱的高和圆锥的高的