第07讲 向量法求距离、探索性及折叠问题(分层精练）-【学霸之路】2024年高考数学一轮复习高频考点精讲精练（新教材新高考）

第07讲 向量法求距离、探索性及折叠问题 A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 一、单选题 1．（2023春·江苏泰州·高二泰州中学校考期中）在空间直角坐标系中，已知，且平面的法向量为，则到平面的距离等于（    ） A． B．4 C． D． 2．（2023·江苏·高二专题练习）已知，，，则点A到直线BC的距离为（    ） A．2 B． C．4 D． 3．（2023春·江苏扬州·高二统考期中）如图，在正三棱柱中，若，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 4．（2023秋·高二课时练习）正方体的棱长为1，则平面与平面的距离为（    ） A． B． C． D． 5．（2023秋·浙江绍兴·高二统考期末）在空间直角坐标系中，经过点且一个法向量为的平面的方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为.阅读上面材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，直线的方程为，则直线到平面的距离为（    ） A．0 B． C． D． 6．（2023·全国·高三专题练习）已知梯形如图（1）所示，其中，为线段的中点，四边形为正方形，现沿进行折叠，使得平面平面，得到如图（2）所示的几何体．已知当上一点满足时，平面平面，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（2023春·甘肃张掖·高三高台县第一中学校考阶段练习）某校计划举办冬季运动会，并在全校师生中征集此次运动会的会徽，某学生设计的《冬日雪花》脱颖而出．它的设计灵感来自三个全等的矩形的折叠拼凑，已知其中一块矩形材料如图①所示，将△BCD沿BD折叠，折叠后BC交AD于点E，，．现需要对会徽的六个直角三角形（图②黑色部分）上色，则上色部分的面积为（    ） A． B． C． D． 8．（2023·全国·高三专题练习）如图，菱形的边长为，，将其沿着对角线折叠至直二面角，连接，得到四面体，则此四面体的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2023秋·吉林辽源·高二校联考期末）在棱长为3的正方体中，点在棱上运动（不与顶点重合），则点到平面的距离可以是（    ） A．1 B． C．2 D．3 10．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，从一个半径为（单位：）的圆形纸板中切割出一块中间是正方形，四周是四个正三角形的纸板，以此为表面（舍弃阴影部分）折叠成一个正四棱锥，则以下说法正确的是（    ） A．四棱锥的体积是 B．四棱锥的外接球的表面积是 C．异面直线与所成角的大小为 D．二面角所成角的余弦值为 三、填空题 11．（2023·湖北孝感·校联考模拟预测）在空间直角坐标系中，已知，，，，，则当点A到平面BCD的距离最小时，直线AE与平面BCD所成角的正弦值为______. 12．（2023·全国·高三专题练习）如图，在中，，，是的中点，以为折痕把折叠，使点到达点的位置，则当三棱锥体积最大时，其外接球的体积为__________. 四、解答题 13．（2023·天津河西·天津市新华中学校考模拟预测）如图，四边形是边长为2的菱形，，四边形为矩形，，且平面平面.    (1)求与平面所成角的正弦值； (2)求平面与平面夹角大小； (3)若在线段上存在点，使得平面，求点到平面的距离. 14．（2023春·全国·高一专题练习）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝AD＝＝1.现以AD为一边向梯形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF折叠，使ED⊥DC，M为ED的中点，如图2. (1)求证：BC⊥平面BDE； (2)求点D到平面BEC的距离. B能力提升 1．（2023春·江苏南京·高二江苏省江浦高级中学校联考期中）已知正方体的棱长为2，、分别为上底面和侧面的中心，则点到平面的距离为（      ）    A． B． C． D． 2．（2023春·浙江·高二期中）如图，在正方体中，棱长为2，点分别为棱､中点，则点到平面的距离为（    ） A．2 B． C． D． 3．（2023秋·浙江金华·高二统考期末）如图，已知平行四边形，，，，、分别是、的中点．现将四边形沿着直线向上翻折，则在翻折过程中，当点到直线的距离为时，二面角的余弦值为____________． 4．（2023秋·广东广州·高二广州市培正中学校考期中）如图，已知四棱锥的底面是菱形，对角线，交于点，，，，底面，设点是的中点．    (1)直线与平面所成角的正弦值； (2)点到平面的距离. C综合素养 1．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在矩形中，，，平面，且，点为线段（除端点外）上的动点，沿直线将翻折到，则下列说法中正确的是（    ） A．当点固定在线段的某位置时，点的运动轨迹为球面 B．存在点，使平面 C．点