第二章 直线和圆的方程 微专题5 隐圆问题-【南方凤凰台·5A新学案】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册人教A版2019（课件）

第二章 直线和圆的方程 微专题5　隐圆问题 选择性必修第一册 　南方凤凰台　5A新学案 · 数学 1 典例剖析•素养提升 1 1 阿波罗尼斯圆 【解答】 典例剖析•素养提升 总 结 提 炼 总 结 提 炼 　　　(1) 已知圆C：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1，点A(0，2)，若圆C上存在点M，满足|MA|2＋|MO|2＝10，则实数a的取值范围是__________. 2 2 其他形式的隐圆 【解析】 　　　 　设点M(x，y).由点A(0，2)，O(0，0)及|MA|2＋|MO|2＝10，得x2＋(y－2)2＋x2＋y2＝10，整理得x2＋(y－1)2＝4，即点M在圆E：x2＋(y－1)2＝4上． [0，3]　 典例剖析•素养提升 2 【解析】 (2) 若直线l1：kx－y＋2＝0与直线l2：x＋ky－2＝0交于点P，则当实数k变化时，点P到直线x－y－4＝0的距离的最大值为_____. 典例剖析•素养提升 2 【解析】 4　 典例剖析•素养提升 2 【解析】 BD　 典例剖析•素养提升 圆的方程是常考内容，但有些时候，条件中并不会直接给出圆方面的信息，而是将其隐藏在题目中了，要通过分析和转化，发现圆(或圆的方程)，从而可以利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐圆”问题．如何发现隐圆(或圆的方程)是关键，常见的策略如下： 总 结 提 炼 总 结 提 炼 随堂内化•及时反馈 12 1．古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内与两个定点距离的比为常数k(k＞0，k≠1)的点的轨迹是圆，后人把这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知定点A(－2，0)，B(2，0)，动点C满足|AC|＝2|BC|，那么动点C的轨迹为一个阿波罗尼斯圆，记此圆为圆P.若点D在圆P上(点D在第一象限)，AD交圆P于点E，连接EB并延长交圆P于点F，连接DF，则当∠DFE＝30°时，直线AD的斜率为 (　　)　 随堂内化•及时反馈 点击对应数字即可跳转到对应题目 1 2 3 【解析】 如图，因为∠DFE＝30°，所以由平面几何知识可知∠DPE＝60°. 随堂内化•及时反馈 点击对应数字即可跳转到对应题目 1 2 3 【答案】　A　 随堂内化•及时反馈 点击对应数字即可跳转到对应题目 1 2 3 【解析】 D　 随堂内化•及时反馈 点击对应数字即可跳转到对应题目 1 2 3 3．已知点A(－1，0)，B(5，0).若圆M：(x－4)2＋(y－m)2＝4上存在唯一一点P，使得直线PA，PB在y轴上的截距之积为5，则实数m的值为______________. 【解析】 随堂内化•及时反馈 点击对应数字即可跳转到对应题目 1 2 3 又点P在圆M上且唯一，所以圆M与圆(x－2)2＋y2＝9有且只有一个公共点，即两圆相切，或两圆相交于点A或B. 随堂内化•及时反馈 点击对应数字即可跳转到对应题目 1 2 3 谢谢观赏 温馨提示： 请老师布置同学们及时完成对应的课后练习。 选择性必修第一册 　南方凤凰台　5A新学案 · 数学 　　　　设点P(x，y)，则 eq \f(\r((x＋2)2＋y2),\r((x－4)2＋y2))＝ eq \f(1,2)，整理得x2＋y2＋8x＝0，即(x＋4)2＋y2＝16，所以动点P的轨迹方程是以(－4，0)为圆心、4为半径的圆． 　　 　已知两个定点A(－2，0)，B(4，0)，若动点P满足＝，求动点P的轨迹方程． 阿波罗尼斯圆的定义：在平面上给定相异的两点A，B，设点P在同一平面上且满足＝λ(λ≠1)，则点P的轨迹是一个圆，这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称为阿氏圆． 设定线段AB的长为2a，以线段AB所在的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(－a，0)，B(a，0).设P(x，y). 由＝λ(λ≠1)，得＝λ， 化简得(1－λ2)x2＋(1－λ2)y2＋2a(1＋λ2)x＋a2(1－λ2)＝0， 即＋y2＝，表示的是以为圆心、为半径的圆． 由上面的推导可以发现： (1) 阿波罗尼斯圆上的任意一点P均满足＝λ(λ≠1)； (2) 阿波罗尼斯圆的圆心C在直线AB上，半径为|AB|； (3) 阿波罗尼斯圆的圆心C一定不在点A，B之间，且|CA|·|CB|等于半径的平方． 圆C上存在点M满足|MA|2＋|MO|2＝10等价于圆E与圆C有公共点，所以|2－1|≤|CE|≤2＋1，即|2－1|≤ eq \r(a2＋(a－3)2)≤2＋1，整理得1≤2a2－6a＋9≤9，解得0≤a≤3，即实数a的取值范围是[0，3]. 因为直线l1，l2分别经过定点A(0，2)，B(2，0)，且l1⊥l2，所以点P在以AB为直径的圆C上，圆心为C(1，1)，半径r＝. 3